Resolva: \left(x^{2}-y\right) d x-x d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dx - x\,dy = 0.
Este é um problema de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos reescrevê-la na forma padrão de uma equação linear em y(x) e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por dx e isolando dy/dx, temos
x^{2}-y - x\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}-y}{x} = x - \frac{y}{x}.
Assim chegamos à forma padrão
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = x.

Passo 3

O coeficiente de y é P(x)=1/x. Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x:
x\frac{dy}{dx} + y = x^{2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x\,y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = x\frac{dy}{dx} + y.

Passo 5

Integrando dos dois lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x\,y = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x\,y - \frac{x^{3}}{3} = C.

Exercícios relacionados