Resolva o PVI:
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e precisamos reconhecer que se trata de uma equação exata, ou seja, de um diferencial total de uma função
.
Passo 2
Para checar a exatidão, note que
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Se é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
mantendo
constante:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
Passo 5
A solução geral implícita é
Passo 6
Usamos a condição inicial
. Substituindo
,
em
,
Então a solução particular é
Passo 7
Se for necessário, podemos isolar
. A equação em
é
que dá
Para satisfazer
escolhemos o sinal “
”, ficando
Resposta
A solução implícita é
e a forma explícita, sujeita a
, é