Resolva o PVI: (2 x y+1) d x+\left(x^{2}+4 y\right) d y=0, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
(2xy+1)\,dx + (x^2+4y)\,dy = 0, \quad y(0)=1.
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e precisamos reconhecer que se trata de uma equação exata, ou seja, de um diferencial total de uma função F(x,y).

Passo 2

Para checar a exatidão, note que
M(x,y) = 2xy+1, \quad N(x,y) = x^2 + 4y.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Se é exata, existe F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x,y).
Integramos M em relação a x mantendo y constante:
F(x,y) = \int (2xy+1)\,dx = x^2y + x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos F em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + h'(y) \overset{!}{=} x^2 + 4y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 4y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = 2y^2 + C.
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F(x,y) = x^2y + x + 2y^2.

Passo 5

A solução geral implícita é
F(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad x^2y + x + 2y^2 = C.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0, y=1 em F(x,y)=C,
0^2\cdot1 + 0 + 2\cdot1^2 = C \quad\Longrightarrow\quad C = 2.
Então a solução particular é
x^2y + x + 2y^2 = 2.

Passo 7

Se for necessário, podemos isolar y. A equação em y é
2y^2 + x^2y + x - 2 = 0,
que dá
y = \frac{-x^2 \pm \sqrt{x^4 - 8x +16}}{4}.
Para satisfazer y(0)=1 escolhemos o sinal “ +”, ficando
y = \frac{-x^2 + \sqrt{x^4 - 8x + 16}}{4}.

Resposta

A solução implícita é
x^2y + x + 2y^2 = 2,
e a forma explícita, sujeita a y(0)=1, é
y(x) = \frac{-x^2 + \sqrt{x^4 - 8x + 16}}{4}.

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