Resolva:
\left|\frac{2 x-7}{x+3}\right| \leq 3

Passo 1

O enunciado pede: resolver a inequação com valor absoluto
\left|\frac{2x-7}{x+3}\right| \leq 3.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{expressão}=\frac{2x-7}{x+3}\quad\text{e}\quad\text{o domínio exige }x\neq -3ãí
porque o denominador não pode ser zero. A tarefa é encontrar todos os x reais (com x\neq -3) que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Estratégia e justificativa didática: quando temos uma desigualdade do tipo \left|A\right|\leq B com B\geq 0, duas abordagens comuns são:
  1. usar a equivalência -B\leq A\leq B; ou
  2. elevar ao quadrado, obtendo A^2\leq B^2 (válido porque A^2 e B^2 são não negativos, então a operação preserva a desigualdade).
Aqui escolho a segunda abordagem (elevar ao quadrado) porque o lado esquerdo é uma fração e o denominador ao quadrado fica positivo, o que evita ter que tratar separadamente os casos do sinal do denominador. Vou justificar cada passo para que você consiga reproduzir na prova sem erro.

Passo 3

Aplicando a operação de quadrado em ambos os lados:
\left(\frac{2x-7}{x+3}\right)^2 \leq 3^2.
Isso é equivalente a
\frac{(2x-7)^2}{(x+3)^2} \leq 9.
Como (x+3)^2>0 para todo x\neq -3, podemos multiplicar ambos os lados por (x+3)^2 sem trocar o sinal da desigualdade. Obtém-se:
(2x-7)^2 \leq 9(x+3)^2,\qquad x\neq -3.

Passo 4

Coloco tudo num lado para transformar em uma desigualdade polinomial:
(2x-7)^2 - 9(x+3)^2 \leq 0.
Repare que isso é uma diferença de quadrados do tipo A^2 - B^2 com A=2x-7 e B=3(x+3). Uma diferença de quadrados fatoriza como (A-B)(A+B). Aplicando:
(2x-7 - 3(x+3))\,(2x-7 + 3(x+3)) \leq 0.
Agora calculo cada fator separadamente:
Primeiro fator:
2x-7 - 3(x+3) = 2x-7 -3x -9 = -x -16 = -(x+16).
Segundo fator:
2x-7 + 3(x+3) = 2x-7 +3x +9 = 5x +2.
Logo a desigualdade fica
-(x+16)(5x+2) \leq 0.

Passo 5

Multiplicando por -1 (o que inverte o sinal da desigualdade) obtemos uma forma mais simples:
(x+16)(5x+2) \geq 0.
Agora reduzimos o problema a resolver uma inequação polinomial do segundo grau fatorada.

Passo 6

Encontro as raízes dos fatores para fazer o estudo de sinais:
x+16=0 \Rightarrow x=-16, \qquad 5x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{5}.
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-16), (-16,-\tfrac{2}{5}) e (-\tfrac{2}{5},\infty).
Faço um teste de sinal em cada intervalo para o produto (x+16)(5x+2).
  • Para x<-16, por exemplo x=-17: x+16<0 e 5x+2<0 então produto >0.
  • Para -16<x<-\tfrac{2}{5}, por exemplo x=-3: x+16>0 (pois -3+16=13) e 5x+2<0 (pois 5(-3)+2=-13), então produto <0.
  • Para x>-\tfrac{2}{5}, por exemplo x=0: x+16>0 e 5x+2>0, então produto >0.
Queremos o produto \geq 0, portanto incluem-se os intervalos onde o produto é positivo e também as raízes (já que o sinal '=\ 'é permitido). Assim a solução da inequação polinomial é
(-\infty,-16]\\ \cup\\ \left[-\tfrac{2}{5},\infty\right).

Passo 7

Necessário lembrar o domínio: x\neq -3. Verifico se x=-3 caiu na solução encontrada: -3 pertence ao intervalo (-16,-\tfrac{2}{5}), que não está na solução, então não preciso excluir explicitamente -3 da resposta final — ele já não satisfaz a desigualdade. Também confirmo os extremos:
  • Em x=-16: \dfrac{2(-16)-7}{-16+3}=\dfrac{-32-7}{-13}=\dfrac{-39}{-13}=3, então |\cdot|=3 e satisfaz \leq 3.
  • Em x=-\tfrac{2}{5}: \dfrac{2(-\tfrac{2}{5})-7}{-\tfrac{2}{5}+3}=\dfrac{-\tfrac{4}{5}-7}{\tfrac{13}{5}}=\dfrac{-\tfrac{39}{5}}{\tfrac{13}{5}}=-3, então |\cdot|=3 também satisfaz.
Portanto a solução final está correta e inclui os extremos.

Resposta

(-\infty,-16]\\ \cup\\ \left[-\tfrac{2}{5},\infty\right)

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