Resolva :
\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{3 y^{2}}{x^{4}}\right) d x=\frac{2 y}{x^{3}} d y, \quad y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+\frac{3y^{2}}{x^{4}}\Bigr)\,dx \;=\;\frac{2y}{x^{3}}\,dy,
com a condição inicial y(1)=1.
O conteúdo aqui é reconhecer e resolver uma equação exata do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.

Passo 2

Escrevendo tudo na forma M\,dx+N\,dy=0, temos
M(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{3y^{2}}{x^{4}}, \quad N(x,y)=-\frac{2y}{x^{3}}.
Para checar exatidão, calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{6y}{x^{4}}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =-\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{2y}{x^{3}}\Bigr) =-2y\cdot\bigl(-3\bigr)x^{-4} =\frac{6y}{x^{4}}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+\frac{3y^{2}}{x^{4}}\Bigr)\,dx =\int x^{-2}\,dx \;+\;3y^{2}\int x^{-4}\,dx =-\frac{1}{x}-\frac{y^{2}}{x^{3}}+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos \partial \Phi/\partial y=N(x,y). Derivando
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =-\frac{2y}{x^{3}}+h'(y)
e igualando a N(x,y)=-2y/x^{3} obtemos h'(y)=0.
Logo h(y) é constante, que absorvemos em C.

Passo 5

A solução implícita é
\Phi(x,y)=-\frac{1}{x}-\frac{y^{2}}{x^{3}}=C.
Para usar y(1)=1, fazemos
-\frac{1}{1}-\frac{1^{2}}{1^{3}}=C \quad\Longrightarrow\quad C=-2.
Assim
-\frac{1}{x}-\frac{y^{2}}{x^{3}}=-2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}+\frac{y^{2}}{x^{3}}=2.
Multiplicando por x^{3},
x^{2}+y^{2}=2x^{3} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=2x^{3}-x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y=x\sqrt{2x-1}.
Escolhemos o sinal positivo para satisfazer y(1)=1.

Resposta

y(x)=x\sqrt{2x-1}.

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