Resolva os limites:
lim x 2 x-4(x-2) 3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 2x-4(x-2)^3
Este é um limite em que o numerador tende a -2 (quando xto2) e o denominador tende a 0, gerando um tipo “constante sobre zero”. Para decidir se o resultado é +infty, -infty ou inexistente, vamos usar mudança de variável e analisar os limites laterais.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
h = x - 2,
de modo que x = 2 + h e h to 0. Substituindo na expressão origina,l obtemos
x-4(x-2)^3 = (2+h)-4h^3 = h-2h^3 = hh^3 - 2h^3 = 1h^2 - 2h^3
Chamemos esta função de f(h)=1h^2-2h^3, com hto0.

Passo 3

Analisamos primeiro o limite pela direita ( hto0^+, isto é, xto2^+).
  • 1h^2 é sempre positivo e vai para +infty.
  • 2h^3 é positivo e vai para +infty, logo -2h^3 vai para -infty.
    Como o termo -2h^3 domina (cresce mais rápido em módulo), temos
limhto0^+l(1h^2-2h^3r) = -infty
Portanto
limxto2^+x-4(x-2)^3 = -infty

Passo 4

Agora o limite pela esquerda ( hto0^-, isto é, xto2^-).
  • 1h^2 continua positivo e vai para +infty.
  • 2h^3 é negativo (pois h^3<0) e vai para -infty, de modo que -2h^3 vai para +infty.
    Assim ambos os termos são +infty e o conjunto cresce para +infty. Logo
limxto2^-x-4(x-2)^3 = +infty

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem ( +infty à esquerda e -infty à direita), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois
limxto2^-x-4(x-2)^3=+infty e limxto2^+x-4(x-2)^3=-infty

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