Resolva os limites abaixo:

Passo 1

O problema pede o cálculo de limxto4^+l((1+x)/5r)^1/(x-4). Esse é um caso clássico de indeterminação do tipo 1^infty, e vamos usar a ideia de reescrever a potência como exponencial via logaritmo.

Passo 2

Para facilitar, fazemos a substituição h = x - 4. Quando x to 4^+, temos h to 0^+. A expressão vira
gl(1+x5gr)^tfrac1x-4 = l(1 + tfrach5r)^tfrac1h
Agora aplicamos logaritmo e usamos a propriedade lim f = e^lim ln f. Chamando a expressão de L,
ln L = limhto0^+ 1h,lnl(1 + tfrach5r)
Para resolver esse limite de 0/0, podemos usar a expansão de Série de Taylor ou regra de L’Hôpital. Pela expansão,
lnl(1 + tfrach5r) = tfrach5 - tfrach^250 + o(h^2)
Então
1h,lnl(1 + tfrach5r) = 1hl(tfrach5 + o(h)r) = tfrac15 + o(1)
Fica claro que
ln L = limhto0^+ l(tfrac15 + o(1)r) = tfrac15
Como L = e^ln L, concluímos que
$$
L = e^{1/5}.
$$

Resposta

e^1/5

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