Resolva os limites abaixo:
lim x 0 sen(x)(1-cos (x))2 x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0sin(x)l(1-cos(x)r)2x^2
Conteúdo: limites de funções trigonométricas e séries de Taylor para pequenas variações de x.

Passo 2

Para expandir em torno de x=0, lembramos as séries de Taylor até a ordem necessária:
sin(x)=x-x^36+O(x^5),
cos(x)=1-x^22+O(x^4)

Passo 3

A partir de cos(x) temos
1-cos(x)=x^22+O(x^4)
Multiplicando por sin(x):
sin(x)l(1-cos(x)r)=l(x-x^36+O(x^5)r)cdotl(x^22+O(x^4)r)=x^32+O(x^5)

Passo 4

Agora dividimos pelo denominador 2x^2:
sin(x)l(1-cos(x)r)2x^2=x^32+O(x^5)2x^2=x4+O(x^3)
Conforme xto0, o termo dominante x/4 tende a zero.

Passo 5

Conclusão: o limite vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados