Resolva os limites abaixo:
lim x 0 10^x-15^x-1

Passo 1

Neste exercício queremos calcular o limite limxto010^x-15^x-1. O conteúdo envolvido é limite de funções exponenciais em forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que exige derivar numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada. Quando xto0:
10^x-1to10^0-1=0e5^x-1to5^0-1=0
Logo, temos 0/0 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
Numerador: ddx(10^x-1)=10^xln10.
Denominador: ddx(5^x-1)=5^xln5.
Assim o limite fica
limxto010^xln105^xln5
Agora basta avaliar em x=0:
10^0ln105^0ln5= racln10ln5

Passo 4

Portanto, o valor do limite é ln10ln5. Essa expressão também pode ser escrita como log5 10 ou 1+ln2ln5, já que ln10=ln2+ln5.

Resposta

ln10ln5

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