Resolva os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} 1+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 2}\left(1+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é a soma de 1 com a fração \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}.
  • O ponto de interesse é x\to 2.
  • Ao substituir x=2 diretamente na fração obtemos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada (isso indica que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite).

Passo 2

Regra de limites que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Quando uma função é soma de duas partes, e os limites das partes existem, vale
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x).
Aqui f(x)=1 e g(x)=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}. A primeira parte é trivial:
\lim_{x\to 2}1=1.
Portanto só precisamos encontrar \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}.

Passo 3

Observação sobre a fração: ao tentar substituir x=2 diretamente,
\sqrt{x}-\sqrt{2}\to 0,\qquad x-2\to 0,
ou seja temos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Uma técnica clássica para esses casos quando aparecem raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz no numerador.

Passo 4

Aplicando o truque do conjugado:
Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{2}:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}.
No numerador usa-se a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Assim
(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})=x-2.
Portanto, para x\neq 2,
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}=\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora que simplificamos a fração, podemos calcular o limite por substituição direta (a nova expressão já é contínua perto de x=2):
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Passo 6

Somando os limites (lembrando da Passo 2 onde \lim_{x\to 2}1=1):
\lim_{x\rightarrow 2}\left(1+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}\right)=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Resposta

1+\frac{1}{2\sqrt{2}}

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