Resolva os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é a soma de
com a fração . - O ponto de interesse é
. - Ao substituir
diretamente na fração obtemos a forma , que é uma forma indeterminada (isso indica que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite).
Passo 2
Regra de limites que vamos usar (explicação didática e simples):
- Quando uma função é soma de duas partes, e os limites das partes existem, vale
Aqui
e
. A primeira parte é trivial:
Portanto só precisamos encontrar
.
Passo 3
Observação sobre a fração: ao tentar substituir
diretamente,
ou seja temos a forma indeterminada
. Uma técnica clássica para esses casos quando aparecem raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz no numerador.
Passo 4
Aplicando o truque do conjugado:
Multiplica-se numerador e denominador por :
Multiplica-se numerador e denominador por
No numerador usa-se a identidade
. Assim
Portanto, para
,
Passo 5
Agora que simplificamos a fração, podemos calcular o limite por substituição direta (a nova expressão já é contínua perto de
):
Passo 6
Somando os limites (lembrando da Passo 2 onde
):