Resolva os limites a seguir. Quando for o caso, indique a equação da reta assíntota vertical ou horizontal.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^{2}(x)}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é a razão entre \sin^{2}(x) (ou seja, (\sin x)^2) e x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    O objetivo é calcular esse limite e, se couber, indicar alguma assíntota (vertical ou horizontal).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a expressão para facilitar o uso de propriedades de limites:
\frac{\sin^{2}(x)}{x}=\sin(x)\cdot\frac{\sin(x)}{x}.
Esta reescrita é útil porque transforma a expressão em um produto de duas funções cuja limite é mais simples de analisar separadamente.

Passo 3

Vou usar a propriedade que diz: se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} f(x)g(x)=\left(\lim_{x\to a} f(x)\right)\left(\lim_{x\to a} g(x)\right).
Aplicando aqui, precisamos dos limites
\lim_{x\to 0}\sin(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}.
O primeiro é imediato: \sin(x) é contínua, logo
\lim_{x\to 0}\sin(x)=\sin(0)=0.

Passo 4

O segundo limite é um resultado clássico: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.
Vou justificar isso de forma didática (uma prova padrão usando desigualdades).
Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica conhecida
\sin x < x < \tan x.
Da desigualdade x<\tan x (com x>0) temos
x < \frac{\sin x}{\cos x}\quad\Longrightarrow\quad \cos x < \frac{\sin x}{x}.
Da desigualdade \sin x < x segue
\frac{\sin x}{x} < 1.
Juntando as duas desigualdades para 0<x<\tfrac{\pi}{2}:
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora, como \lim_{x\to 0}\cos x = \cos 0 = 1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) concluímos
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Para x<0 a função \dfrac{\sin x}{x} é par, pois
\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x},
logo o limite pela esquerda é o mesmo. Assim existe limite bilateral e
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Voltando ao produto da Passo 2, temos as duas peças:
\lim_{x\to 0}\sin(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.
Pelo produto de limites,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{2}(x)}{x} = \left(\lim_{x\to 0}\sin x\right)\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right) = 0\cdot 1 = 0.
Observação didática opcional: outra maneira curta é notar que \dfrac{\sin^{2}x}{x} dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0} e aplicar a regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(\sin^{2}x)=2\sin x\cos x,\qquad \frac{d}{dx}(x)=1,
então o limite seria
\lim_{x\to 0}2\sin x\cos x = 2\sin 0\cos 0 = 0,
chegando à mesma resposta. Essa alternativa exige conhecer e poder aplicar L’Hôpital.
Quanto a assíntotas: aqui trata-se de limite no ponto finito x=0 e o valor do limite é 0. Não há assíntota vertical nem horizontal associada a esse limite (assíntotas horizontais tratam comportamento quando x\to\pm\infty; assíntotas verticais surgem quando a função tende a \pm\infty ao se aproximar de um ponto).

Resposta

\;0\;

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