Resolva os limites a seguir. Quando for o caso, indique a equação da reta assíntota vertical ou horizontal.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão é a razão entre
(ou seja, ) e . - O ponto de interesse é
.
O objetivo é calcular esse limite e, se couber, indicar alguma assíntota (vertical ou horizontal).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a expressão para facilitar o uso de propriedades de limites:
Esta reescrita é útil porque transforma a expressão em um produto de duas funções cuja limite é mais simples de analisar separadamente.
Passo 3
Vou usar a propriedade que diz: se
e
existem e são finitos, então
Aplicando aqui, precisamos dos limites
O primeiro é imediato:
é contínua, logo
Passo 4
O segundo limite é um resultado clássico:
.
Vou justificar isso de forma didática (uma prova padrão usando desigualdades).
Vou justificar isso de forma didática (uma prova padrão usando desigualdades).
Para
vale a desigualdade geométrica conhecida
Da desigualdade
(com
) temos
Da desigualdade
segue
Juntando as duas desigualdades para
:
Agora, como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) concluímos
Para
a função
é par, pois
logo o limite pela esquerda é o mesmo. Assim existe limite bilateral e
Passo 5
Voltando ao produto da Passo 2, temos as duas peças:
Pelo produto de limites,
Observação didática opcional: outra maneira curta é notar que
dá a forma indeterminada
e aplicar a regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
então o limite seria
chegando à mesma resposta. Essa alternativa exige conhecer e poder aplicar L’Hôpital.
Quanto a assíntotas: aqui trata-se de limite no ponto finito
e o valor do limite é
. Não há assíntota vertical nem horizontal associada a esse limite (assíntotas horizontais tratam comportamento quando
; assíntotas verticais surgem quando a função tende a
ao se aproximar de um ponto).