Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-1}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{x+1}{x-2} \;=\;\frac{x-1}{2x+3}.
O conteúdo envolvido é equação racional: precisamos cuidar do domínio (valores que anulam denominadores) e usar multiplicação cruzada para chegar a uma equação polinomial.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que os denominadores sejam não nulos:
x-2 \neq 0\quad\Longrightarrow\quad x \neq 2,
2x+3 \neq 0\quad\Longrightarrow\quad x \neq -\tfrac{3}{2}.
Logo, quaisquer soluções obtidas não podem ser 2 nem -\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Aplicamos multiplicação cruzada, válida sempre que estamos fora das proibições do domínio:
(x+1)(2x+3) \;=\;(x-1)(x-2).

Passo 4

Expandimos ambos os lados e colocamos em forma padrão:
2x^2 +3x +2x +3 \;=\; x^2 -2x -x +2
2x^2 +5x +3 \;=\; x^2 -3x +2
2x^2 +5x +3 -x^2 +3x -2 \;=\;0
x^2 +8x +1 \;=\;0.

Passo 5

Resolvemos a quadrática pelo discriminante \Delta:
\Delta = 8^2 -4\cdot1\cdot1 =64 -4 =60.
As raízes são
x = \frac{-8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -4 \pm \sqrt{15}.
Verificamos que -4+\sqrt{15} e -4-\sqrt{15} não coincidem com 2 nem com -\tfrac{3}{2}, então são soluções válidas.

Resposta

x = -4 + \sqrt{15}, \qquad x = -4 - \sqrt{15}.

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