Resolva as seguintes inequações:
\frac{1}{3 x+1} \leq \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{1}{3x+1}\le \frac{1}{x}
O conteúdo aqui é inequação envolvendo frações; vamos precisar determinar o domínio (valores que anulam denominadores), passar tudo para um único lado e estudar o sinal de um quociente.

Passo 2

Determinar o domínio da expressão. Como temos 3x+1 e x nos denominadores, devemos ter
3x+1\neq 0 \quad\text{e}\quad x\neq 0
Logo
x\neq -\frac{1}{3} \quad\text{e}\quad x\neq 0.

Passo 3

Colocar tudo num único quociente:
\frac{1}{3x+1}-\frac{1}{x}\le 0.
O denominador comum é x(3x+1). No numerador:
1\cdot x - 1\cdot(3x+1) = x -3x -1 = -2x-1.
Então a inequação vira
\frac{-2x-1}{x(3x+1)} \le 0.

Passo 4

Para facilitar o estudo de sinal, multiplico ambos os lados por -1, invertendo o sinal da desigualdade:
\frac{2x+1}{x(3x+1)} \ge 0.

Passo 5

Identificar os pontos críticos (zeros do numerador e do denominador):
2x+1=0 \implies x=-\frac{1}{2}, \quad x=0, \quad 3x+1=0 \implies x=-\frac{1}{3}.
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos:
(-\infty,-\tfrac12),\; \bigl(-\tfrac12,-\tfrac13\bigr),\; \bigl(-\tfrac13,0\bigr),\; (0,\infty).

Passo 6

Testar o sinal de \dfrac{2x+1}{x(3x+1)} em cada intervalo:
  • Em x<-\tfrac12 (ex.: x=-1): 2x+1<0, x<0, 3x+1<0. O quociente fica negativo.
  • Em -\tfrac12<x<-\tfrac13 (ex.: x=-0,4): 2x+1>0, x<0, 3x+1<0. Denominador x(3x+1)>0. Assim o quociente é positivo.
  • Em -\tfrac13<x<0 (ex.: x=-0,1): 2x+1>0, x<0, 3x+1>0. Denominador x(3x+1)<0. Quociente negativo.
  • Em x>0 (ex.: x=1): todos os fatores são positivos, logo o quociente é positivo.
Como queremos \ge0, selecionamos os intervalos onde o quociente é positivo e incluímos o zero do numerador x=-\tfrac12, mas jamais os zeros do denominador x=-\tfrac13 e x=0.

Resposta

\left[-\tfrac12,\,-\tfrac13\right)\,\cup\,(0,\infty)

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