Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
x+\frac{1}{x}=3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação racional
x + \frac{1}{x} = 3x - 2.
O conteúdo aqui é equação do tipo “ x no denominador”, então vamos precisar observar o domínio (evitar x=0), multiplicar ambos os lados por x e reduzir a um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Como há um termo \tfrac1x, o domínio exige x \neq 0. Multiplicando ambos os lados por x, obtemos
x\cdot x + x\cdot\frac{1}{x} = x\cdot(3x - 2) \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 1 = 3x^2 - 2x.

Passo 3

Reorganizando em forma padrão de quadrática:
x^2 + 1 = 3x^2 - 2x \quad\Longrightarrow\quad 0 = 3x^2 - 2x - x^2 - 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 2x - 1 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara em \displaystyle 2x^2 - 2x - 1 = 0:
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}.

Passo 4

As raízes são
x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}.
Nenhuma delas é zero, então ambas respeitam o domínio original x\neq0 e são soluções válidas.

Resposta

x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \quad\text{ou}\quad x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}.

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