Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)^{2}} \div \frac{x^{3}-x y^{2}+x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+2 x y+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar ao máximo a expressão
\frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)^{2}} \;\div\; \frac{x^{3}-x y^{2}+x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+2xy+y^{2}}.
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios e propriedades de frações algébricas (em particular, divisão de frações).

Passo 2

Fatoramos a primeira fração. Note que
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y),
e
(x+y)^{2}=(x+y)^{2}.
Logo,
\frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)^{2}} =\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^{2}} =\frac{x-y}{x+y},
desde que x+y\neq0.

Passo 3

Fatoramos o numerador da segunda fração por agrupamento:
x^{3}-xy^{2}+x^{2}y-y^{3} =(x^{3}+x^{2}y)-(xy^{2}+y^{3}) =x^{2}(x+y)-y^{2}(x+y) =(x^{2}-y^{2})(x+y) =(x-y)(x+y)^{2}.
O denominador é
x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.
Portanto,
\frac{x^{3}-xy^{2}+x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+2xy+y^{2}} =\frac{(x-y)(x+y)^{2}}{(x+y)^{2}} =x-y,
desde que x+y\neq0.

Passo 4

Agora dividimos as frações:
\frac{\frac{x-y}{x+y}}{\,x-y\,} =\frac{x-y}{x+y}\cdot\frac{1}{x-y} =\frac{1}{x+y},
com a condição adicional x-y\neq0.

Resposta

\frac{1}{x+y}

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