Resolva as seguintes inequações:
\frac{-x^{2}+4}{x+1} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{-x^{2}+4}{x+1} \leq 0.
O conteúdo aqui é análise de sinais de função racional. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar zeros do numerador.
  2. Identificar zeros do denominador (pontos de descontinuidade).
  3. Ordenar esses pontos críticos e dividir a reta em intervalos.
  4. Determinar o sinal da fração em cada intervalo.
  5. Escolher os intervalos onde a fração é negativa ou nula, respeitando a exclusão do ponto onde o denominador é zero.

Passo 2

Achemos os zeros do numerador resolvendo
-x^{2}+4 = 0.
Isso dá
x^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -2 \quad\text{ou}\quad x = 2.

Passo 3

O denominador é x+1. Ele se anula em
x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -1,
que é ponto proibido na solução, pois faz a fração indefinida.

Passo 4

Os pontos críticos são x=-2, x=-1 e x=2. Eles dividem a reta real em quatro intervalos:
(-\infty,-2),\;(-2,-1),\;(-1,2),\;(2,\infty).

Passo 5

Analisemos o sinal de cada fator em cada intervalo:
  1. Numerador -x^{2}+4:
    – É positivo se |x|<2 (intervalo -2<x<2).
    – É zero em x=-2 e x=2.
    – É negativo se |x|>2 (intervalos (-\infty,-2) e (2,\infty)).
  2. Denominador x+1:
    – É negativo para x<-1 (intervalos (-\infty,-1)).
    – É zero em x=-1 (ponto excluído).
    – É positivo para x>-1 (intervalos (-1,\infty)).
Agora o sinal da fração \frac{-x^{2}+4}{x+1} em cada intervalo:
  • Em (-\infty,-2): numerador negativo, denominador negativo ⇒ fração positiva.
  • Em (-2,-1): numerador positivo, denominador negativo ⇒ fração negativa.
  • Em (-1,2): numerador positivo, denominador positivo ⇒ fração positiva.
  • Em (2,\infty): numerador negativo, denominador positivo ⇒ fração negativa.
Nos pontos críticos x=-2 e x=2, a fração vale zero (numerador nulo e denominador \neq 0). Em x=-1 a fração é indefinida.

Passo 6

Queremos \frac{-x^{2}+4}{x+1}\le0, ou seja, fração negativa ou zero. Pelos sinais:
  • Zeros permitidos: x=-2 e x=2.
  • Intervalos onde é negativa: (-2,-1) e (2,\infty).
  • Excluímos x=-1.
Assim, a solução é
[-2,-1)\;\cup\;[2,\infty).

Resposta

\displaystyle[-2,-1)\cup[2,\infty)

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