Resolva, em
, as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a equação exponencial
Informações dadas:
- A base do expoente no lado esquerdo é
. - O lado direito é
.
O que se pede: - Encontrar todos os valores reais de
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Vamos transformar as raízes em potências com expoentes fracionários — isso facilita manipular potências. Regra importante: para todo
,
Aplicando isso às expressões do enunciado:
Aqui usei a informação da própria equação para reescrever as raízes como potências de
.
Passo 3
Substituo as reescritas na equação original:
Agora uso a propriedade de potências chamada “potência de potência”: para quaisquer
e números reais
,
Aplicando essa regra ao lado esquerdo:
Portanto a equação fica
Passo 4
Quando duas potências têm a mesma base positiva diferente de
(aqui a base é
), a igualdade das potências implica igualdade dos expoentes. Ou seja, de
segue-se que
Isso é válido porque a função
(com
,
) é injetora em
.
Passo 5
Resolver a igualdade
: multiplico ambos os lados por
,
Esse é o candidato a solução. Vou verificar substituindo na equação original: calculo o lado esquerdo para
,
que coincide com o lado direito. Logo
satisfaz a equação.
Passo 6
Conclusão final e observação: como a função exponencial com base
é estritamente crescente (portanto injetora), não há outra solução real além de
. Assim a solução é única.