Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
(\sqrt{2})^{x}=\sqrt{8}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação exponencial
(\sqrt{2})^{x}=\sqrt{8}.
Informações dadas:
  • A base do expoente no lado esquerdo é \sqrt{2}.
  • O lado direito é \sqrt{8}.
    O que se pede:
  • Encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Vamos transformar as raízes em potências com expoentes fracionários — isso facilita manipular potências. Regra importante: para todo a>0,
\sqrt{a}=a^{1/2}.
Aplicando isso às expressões do enunciado:
\sqrt{2}=2^{1/2}, \qquad \sqrt{8}=\sqrt{2^3}=(2^3)^{1/2}=2^{3/2}.
Aqui usei a informação da própria equação para reescrever as raízes como potências de 2.

Passo 3

Substituo as reescritas na equação original:
(2^{1/2})^{x}=2^{3/2}.
Agora uso a propriedade de potências chamada “potência de potência”: para quaisquer a e números reais m,n,
(a^{m})^{n}=a^{mn}.
Aplicando essa regra ao lado esquerdo:
(2^{1/2})^{x}=2^{(1/2)\cdot x}=2^{x/2}.
Portanto a equação fica
2^{x/2}=2^{3/2}.

Passo 4

Quando duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1 (aqui a base é 2), a igualdade das potências implica igualdade dos expoentes. Ou seja, de
2^{x/2}=2^{3/2}
segue-se que
\frac{x}{2}=\frac{3}{2}.
Isso é válido porque a função a^{t} (com a>0, a\neq1) é injetora em t.

Passo 5

Resolver a igualdade \dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{2}: multiplico ambos os lados por 2,
x=3.
Esse é o candidato a solução. Vou verificar substituindo na equação original: calculo o lado esquerdo para x=3,
(\sqrt{2})^{3}=(2^{1/2})^{3}=2^{3/2}=\sqrt{8},
que coincide com o lado direito. Logo x=3 satisfaz a equação.

Passo 6

Conclusão final e observação: como a função exponencial com base 2 é estritamente crescente (portanto injetora), não há outra solução real além de x=3. Assim a solução é única.

Resposta

x=3

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