Sejam as matrizes \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), \mathrm{B}=\binom{1}{-2} e \mathrm{C}=\left(\begin{array}{ll}5 & -1\end{array}\right). Pede-se:
Calcular \mathrm{BC}+2 \mathrm{~A} e CB.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}1 \\\\ -2\end{pmatrix},\quad \mathrm{C}=\begin{pmatrix}5 & -1\end{pmatrix}
e pede para calcular \mathrm{B}\mathrm{C}+2\,\mathrm{A} e \mathrm{C}\mathrm{B}.
Aqui vamos usar as operações de multiplicação de matrizes (com atenção às dimensões), a multiplicação de uma matriz por escalar e a soma de matrizes.

Passo 2

Para calcular \mathrm{B}\mathrm{C} verificamos as dimensões: \mathrm{B} é 2\times1 e \mathrm{C} é 1\times2, então o produto será 2\times2. Cada elemento (i,j) de \mathrm{B}\mathrm{C} é dado por
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{ij} =\mathrm{B}_{i1}\,\mathrm{C}_{1j}.
Logo,
\mathrm{B}\mathrm{C} =\begin{pmatrix} 1\cdot5 & 1\cdot(-1)\\\ (-2)\cdot5 & (-2)\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & -1\\\\ -10 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos 2\,\mathrm{A}. Basta multiplicar cada entrada de \mathrm{A} por 2:
2\,\mathrm{A} =2\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Somamos \mathrm{B}\mathrm{C} e 2\,\mathrm{A} elemento a elemento:
\mathrm{B}\mathrm{C}+2\,\mathrm{A} =\begin{pmatrix}5 & -1\\\\ -10 & 2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2 & 4\\\\ 2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5+2 & -1+4\\\\ -10+2 & 2+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7 & 3\\\\ -8 & 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \mathrm{C}\mathrm{B}, \mathrm{C} é 1\times2 e \mathrm{B} é 2\times1, o produto é 1\times1 (um escalar). Cada entrada é
\mathrm{C}\mathrm{B} =\sum_{k=1}^{2}\mathrm{C}_{1k}\,\mathrm{B}_{k1} =5\cdot1 +(-1)\cdot(-2) =5+2 =7.

Resposta

\mathrm{B}\mathrm{C}+2\,\mathrm{A} =\begin{pmatrix}7 & 3\\\\ -8 & 2\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{C}\mathrm{B} =\begin{pmatrix}7\end{pmatrix}.

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