Resolva:
(\mathrm{PVI}) y^{\prime}=\frac{2 y}{x}, y(1)=3.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'=\frac{2y}{x},\qquad y(1)=3.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial: \displaystyle y'=\frac{2y}{x}.
  • A condição inicial: \displaystyle y(1)=3.
  • Note que a equação envolve \displaystyle \frac{1}{x}, então \displaystyle x\neq 0.
    O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Identificação do método e manipulação inicial.
A equação é separável: podemos escrever a derivada como \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}. Então
\frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}.
Como os termos em y e em x aparecem multiplicativamente, podemos separar as variáveis colocando todos os termos com y num lado e com x no outro:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{2}{x}\,dx.
Breve explicação do conceito usado: “separável” significa que a equação pode ser rearranjada na forma g(y)\,dy=h(x)\,dx. Isso nos permite integrar ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 3

Integração de ambos os lados.
Integramos \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy e \displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx. Lembrete de fórmula: \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. Então
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{2}{x}\,dx
implica
\ln|y|=2\ln|x|+C,
onde \displaystyle C é a constante de integração (uma única constante que aparece ao integrar).

Passo 4

Isolando y.
Transformamos a expressão logarítmica em forma exponencial para obter y. Exponenciando ambos os lados:
|y|=e^{C}\,|x|^{2}.
Como e^{C}>0, podemos definir uma nova constante real \displaystyle K tal que \displaystyle K=e^{C}>0. Assim |y|=K|x|^{2}. Absorvendo o sinal em uma constante arbitrária \displaystyle C_1\in\mathbb{R} (isto é, permitindo C_1 ser positivo, negativo ou zero) obtemos a forma geral
y=C_1 x^{2}.
Comentário útil: a solução y\equiv 0 também está incluída nesta forma tomando C_1=0. A equação original não é definida em x=0, então consideramos intervalos que não contenham 0.

Passo 5

Aplicando a condição inicial para determinar a constante.
Usamos \displaystyle y(1)=3. Substituindo x=1 em y=C_1 x^{2}
3=C_1\cdot 1^{2}=C_1.
Portanto \displaystyle C_1=3 e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=3x^{2}.

Passo 6

Observações sobre domínio e unicidade.
  • A equação diferencial contém \displaystyle \frac{1}{x}, então não está definida em x=0. Como a condição inicial foi dada em x=1, a solução obtida é válida no intervalo maximal que contém 1, isto é, para \displaystyle x>0.
  • Em \displaystyle x>0 a função do lado direito \displaystyle \frac{2y}{x} é contínua e Lipschitz em y, logo a solução inicial é única nesse intervalo.
    Assim, a solução válida para o PVI com \displaystyle y(1)=3 é y(x)=3x^{2} para \displaystyle x>0.

Resposta

y(x)=3x^{2},\; x>0

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