Resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
Informações fornecidas:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
. - Note que a equação envolve
, então .
O que é pedido: encontrar a soluçãoque satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Identificação do método e manipulação inicial.
A equação é separável: podemos escrever a derivada como . Então
A equação é separável: podemos escrever a derivada como
Como os termos em
e em
aparecem multiplicativamente, podemos separar as variáveis colocando todos os termos com
num lado e com
no outro:
Breve explicação do conceito usado: “separável” significa que a equação pode ser rearranjada na forma
. Isso nos permite integrar ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 3
Integração de ambos os lados.
Integramos e
. Lembrete de fórmula:
. Então
Integramos
implica
onde
é a constante de integração (uma única constante que aparece ao integrar).
Passo 4
Isolando
.
Transformamos a expressão logarítmica em forma exponencial para obter . Exponenciando ambos os lados:
Transformamos a expressão logarítmica em forma exponencial para obter
Como
, podemos definir uma nova constante real
tal que
. Assim
. Absorvendo o sinal em uma constante arbitrária
(isto é, permitindo
ser positivo, negativo ou zero) obtemos a forma geral
Comentário útil: a solução
também está incluída nesta forma tomando
. A equação original não é definida em
, então consideramos intervalos que não contenham
.
Passo 5
Aplicando a condição inicial para determinar a constante.
Usamos . Substituindo
em
dá
Usamos
Portanto
e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Observações sobre domínio e unicidade.
- A equação diferencial contém
, então não está definida em . Como a condição inicial foi dada em , a solução obtida é válida no intervalo maximal que contém , isto é, para . - Em
a função do lado direito é contínua e Lipschitz em , logo a solução inicial é única nesse intervalo.
Assim, a solução válida para o PVI comé para .