Resolva:
x y^{\prime}=x+y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y' = x + y.
O que devemos encontrar é a solução geral y(x). Informações relevantes: a variável independente é x, a incógnita é a função y(x) e a equação envolve y' (derivada de y em relação a x). Note que a equação não é definida em x=0 (pois aparece um fator x multiplicando y'); portanto a solução será buscada em intervalos onde x\neq 0.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma que fique explícito um termo que possamos reconhecer como derivada de uma razão. Subtraindo y dos dois lados,
x\,y' - y = x.
Vou mostrar agora uma identidade útil: a derivada da razão \dfrac{y}{x} é dada pelo quociente (regra do quociente).

Passo 3

Calculemos a derivada de \dfrac{y}{x} usando a regra do quociente. Seja u(x)=y(x) e v(x)=x. Então
\left(\dfrac{y}{x}\right)'=\dfrac{x\,y' - y}{x^2}.
Essa fórmula vem direto de \big(u/v\big)'=(u'v-u v')/v^2, aplicando u=y e v=x.

Passo 4

Comparando com a equação reescrita x\,y' - y = x, substituímos o numerador na expressão anterior:
\left(\dfrac{y}{x}\right)' = \dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x},
válido para x\neq 0.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x. A integral de \dfrac{1}{x} é o logaritmo natural com valor absoluto:
\int \left(\dfrac{y}{x}\right)'\,dx = \int \dfrac{1}{x}\,dx
\Rightarrow \dfrac{y}{x} = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à função y, multiplicamos por x para isolar y:
y = x\big(\ln|x| + C\big) = x\ln|x| + Cx.
Essa é a solução geral, válida em qualquer intervalo onde x\neq 0. O uso de \ln|x| permite cobrir os casos x>0 e x<0 de uma só vez.

Passo 7

Verificação rápida (para nos deixar tranquilos): calcule y'=\dfrac{d}{dx}\big(x\ln|x| + Cx\big)=\ln|x| + 1 + C. Então
x\,y' = x(\ln|x| + 1 + C) = x\ln|x| + x + Cx = y + x,
portanto a solução satisfaz a equação original.

Passo 8

Comentário final: a solução geral é válida em intervalos onde x\neq 0. A equação diferencial original não impõe valor em x=0; se for necessário um valor em x=0 isso teria que ser tratado como condição adicional de problema (condição inicial) e, em geral, a equação não é definida naquele ponto.

Resposta

y = x\ln|x| + Cx

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