Resolva:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que devemos encontrar é a solução geral
. Informações relevantes: a variável independente é
, a incógnita é a função
e a equação envolve
(derivada de
em relação a
). Note que a equação não é definida em
(pois aparece um fator
multiplicando
); portanto a solução será buscada em intervalos onde
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma que fique explícito um termo que possamos reconhecer como derivada de uma razão. Subtraindo
dos dois lados,
Vou mostrar agora uma identidade útil: a derivada da razão
é dada pelo quociente (regra do quociente).
Passo 3
Calculemos a derivada de
usando a regra do quociente. Seja
e
. Então
Essa fórmula vem direto de
, aplicando
e
.
Passo 4
Comparando com a equação reescrita
, substituímos o numerador na expressão anterior:
válido para
.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
. A integral de
é o logaritmo natural com valor absoluto:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à função
, multiplicamos por
para isolar
:
Essa é a solução geral, válida em qualquer intervalo onde
. O uso de
permite cobrir os casos
e
de uma só vez.
Passo 7
Verificação rápida (para nos deixar tranquilos): calcule
. Então
portanto a solução satisfaz a equação original.
Passo 8
Comentário final: a solução geral é válida em intervalos onde
. A equação diferencial original não impõe valor em
; se for necessário um valor em
isso teria que ser tratado como condição adicional de problema (condição inicial) e, em geral, a equação não é definida naquele ponto.