Resolva as Matrizes de Sistemas seguintes:
(cccc2 & 1 & -1 & 10 1 & -1 & 1 & -4 3 & 1 & -1 & 12)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em três incógnitas x,y,z, representado pela matriz aumentada
2 & 1 & -1 & 10 1 & -1 & 1 & -4 3 & 1 & -1 & 12
Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar todas as soluções.

Passo 2

Para ter pivô igual a 1 na primeira linha, trocamos a linha 1 com a linha 2. Obtemos
1 & -1 & 1 & -4 2 & 1 & -1 & 10 3 & 1 & -1 & 12

Passo 3

Eliminamos o x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
L2 L2 - 2,L1, L3 L3 - 3,L1
Calculando:
L2 = (2,1,-1,10)-2,(1,-1,1,-4) = (0,3,-3,18),
L3 = (3,1,-1,12)-3,(1,-1,1,-4) = (0,4,-4,24)
Agora a matriz é
1 & -1 & 1 & -4 0 & 3 & -3 & 18 0 & 4 & -4 & 24

Passo 4

Eliminamos o y da linha 3 usando a linha 2 como pivô:
L3 L3 - tfrac43,L2
Isso dá
(0,4,-4,24)-tfrac43,(0,3,-3,18) = (0,0,0,0)
A matriz reduzida é
1 & -1 & 1 & -4 0 & 3 & -3 & 18 0 & 0 & 0 & 0 ,
indicando um grau de liberdade (uma variável livre).

Passo 5

Da segunda linha temos
3y - 3z = 18 Longrightarrow y - z = 6 Longrightarrow y = 6 + z
Da primeira linha temos
x - y + z = -4 Longrightarrow x - (6+z) + z = -4 Longrightarrow x - 6 = -4 Longrightarrow x = 2
Chamamos z de parâmetro livre t. Assim, a solução geral é
x = 2, y = 6 + t, z = t, tinR

Resposta

(x,y,z) = (2,6+t,t), com tinR.

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