Resolva pelo método que achar conveniente as integrais das funções
(c) f(z)=\frac{\sin z}{z\left(z^{2}+9\right)} \quad C : ao longo do círculo de raio 4 em torno da origem (orientação positiva).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno da função
f(z)=\frac{\sin z}{z\left(z^{2}+9\right)}
ao longo do círculo C de raio 4 centrado na origem, com orientação positiva (contrária ao sentido dos ponteiros do relógio).
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
  • A curva C é o círculo \{z\in\mathbb{C}:\,|z|=4\}.
  • A função f tem possíveis singularidades onde o denominador é zero: z=0, z=3i e z=-3i.
  • Todos esses pontos satisfazem |0|=0<4, |3i|=3<4 e |-3i|=3<4, portanto estão todos no interior do círculo C.
    Nada mais é dado; a missão é calcular
\oint_{C} f(z)\,dz.

Passo 2

Método escolhido: teorema dos resíduos (porque estamos integrando uma função meromorfa em um contorno fechado e a integral é dada por 2\pi i vezes a soma das singularidades isoladas internas). Vou explicar claramente o teorema e as fórmulas que vou usar.
Teorema dos resíduos (forma que usaremos): se g é função meromorfa numa vizinhança de um domínio que contém o interior de um contorno fechado e simples C, e a_1,\dots,a_n são as singularidades isoladas de g no interior de C, então
\oint_{C} g(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(g,a_k),
onde \operatorname{Res}(g,a_k) é o resíduo de g em a_k.
Como calcular resíduos (fórmulas úteis que vou aplicar):
  • Se a é um polo simples de g, então
\operatorname{Res}(g,a)=\lim_{z\to a}(z-a)g(z).
  • Se g(z)=\dfrac{\varphi(z)}{\psi(z)} com \varphi analítica em a, \psi com zero simples em a e \psi'(a)\neq0, então
\operatorname{Res}(g,a)=\frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.
Vou aplicar a primeira forma (limite) para cada singularidade, porque aqui as singularidades são simples ou removíveis.
Observação importante sobre notação: \operatorname{Res}(g,a) é o coeficiente do termo (z-a)^{-1} na expansão de Laurent de g em torno de a.

Passo 3

Classificação da singularidade em z=0 e cálculo do resíduo em 0.
Primeiro, veja que \sin z tem zero simples em z=0 (pois \sin z = z - z^{3}/6 + \cdots). O denominador tem um fator z, logo a aparente singularidade em 0 pode ser removível se o zero de \sin z anular o fator z do denominador.
Usando a expansão em série de Taylor de \sin z ao redor de 0:
\sin z = z - \frac{z^{3}}{6} + O(z^{5}).
Então
\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^{2}}{6} + O(z^{4}).
Assim
f(z)=\frac{\sin z}{z(z^{2}+9)} = \frac{1 - \dfrac{z^{2}}{6} + O(z^{4})}{z^{2}+9}.
Como z^{2}+9 é igual a 9+O(z^{2}) perto de 0, fica claro que f(z) é analítica em z=0 (não há termo em 1/z na expansão): a singularidade em 0 é removível. Logo o resíduo em 0 é zero. Podemos também obter isso diretamente pela fórmula do polo simples (limite):
\operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to0} z\cdot f(z)=\lim_{z\to0}\frac{\sin z}{z^{2}+9}=\frac{\sin 0}{9}=0.

Passo 4

Cálculo do resíduo em z=3i.
Observe que z=3i é uma raiz simples do fator z^{2}+9 (pois z^{2}+9=(z-3i)(z+3i)), e não é raiz do numerador \sin z (em geral \sin(3i)\neq0). Logo z=3i é um polo simples de f. Para um polo simples usamos
\operatorname{Res}\bigl(f,3i\bigr)=\lim_{z\to 3i}(z-3i)\frac{\sin z}{z(z^{2}+9)}.
Fatorando z^{2}+9=(z-3i)(z+3i) e cancelando (z-3i), obtemos
\operatorname{Res}\bigl(f,3i\bigr)=\frac{\sin(3i)}{3i\,(3i+3i)}.
Calcule o denominador: 3i+3i=6i, então 3i\cdot6i=18i^{2}=-18. Portanto
\operatorname{Res}\bigl(f,3i\bigr)=\frac{\sin(3i)}{-18}=-\frac{\sin(3i)}{18}.
Para deixar em forma real-imaginária útil, lembre que \sin(iy)=i\operatorname{sinh}(y). Aplicando com y=3,
\sin(3i)=i\operatorname{sinh}(3),
portanto
\operatorname{Res}\bigl(f,3i\bigr)=-\frac{i\operatorname{sinh}(3)}{18}.

Passo 5

Cálculo do resíduo em z=-3i.
Pelo mesmo raciocínio z=-3i é polo simples. Usando a definição:
\operatorname{Res}\bigl(f,-3i\bigr)=\lim_{z\to -3i}(z+3i)\frac{\sin z}{z(z^{2}+9)}.
Cancelando o fator (z+3i) com (z^{2}+9) escrito como (z-3i)(z+3i), obtemos
\operatorname{Res}\bigl(f,-3i\bigr)=\frac{\sin(-3i)}{(-3i)\,(-3i-3i)}.
Calcule o denominador: -3i-3i=-6i, então (-3i)(-6i)=18i^{2}=-18. Assim
\operatorname{Res}\bigl(f,-3i\bigr)=\frac{\sin(-3i)}{-18}=-\frac{\sin(-3i)}{18}.
Usando a imparidade de \sin, \sin(-3i)=-\sin(3i), segue que
\operatorname{Res}\bigl(f,-3i\bigr)=-\frac{-\sin(3i)}{18}=\frac{\sin(3i)}{18}.
Se quisermos expressar em termos de \operatorname{sinh}, com \sin(3i)=i\operatorname{sinh}(3),
\operatorname{Res}\bigl(f,-3i\bigr)=\frac{i\operatorname{sinh}(3)}{18}.

Passo 6

Soma dos resíduos dentro de C e aplicação do teorema dos resíduos.
Já vimos:
\operatorname{Res}(f,0)=0,\qquad \operatorname{Res}\bigl(f,3i\bigr)=-\frac{\sin(3i)}{18},\qquad \operatorname{Res}\bigl(f,-3i\bigr)=\frac{\sin(3i)}{18}.
Somando:
\operatorname{Res}(f,0)+\operatorname{Res}\bigl(f,3i\bigr)+\operatorname{Res}\bigl(f,-3i\bigr) =0 + \left(-\frac{\sin(3i)}{18}\right) + \left(\frac{\sin(3i)}{18}\right) = 0.
Pelo teorema dos resíduos,
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \times 0 = 0.
(Foi conveniente notar que os resíduos em 3i e -3i se anulam por simetria: \sin é ímpar e os fatores do denominador dão sinais que causam cancelamento.)

Resposta

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