Resolva pelo método que achar conveniente as integrais das funções
(c)
: ao longo do círculo de raio 4 em torno da origem (orientação positiva).
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno da função
ao longo do círculo
de raio
centrado na origem, com orientação positiva (contrária ao sentido dos ponteiros do relógio).
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
- A curva
é o círculo . - A função
tem possíveis singularidades onde o denominador é zero: , e . - Todos esses pontos satisfazem
, e , portanto estão todos no interior do círculo .
Nada mais é dado; a missão é calcular
Passo 2
Método escolhido: teorema dos resíduos (porque estamos integrando uma função meromorfa em um contorno fechado e a integral é dada por
vezes a soma das singularidades isoladas internas). Vou explicar claramente o teorema e as fórmulas que vou usar.
Teorema dos resíduos (forma que usaremos): se
é função meromorfa numa vizinhança de um domínio que contém o interior de um contorno fechado e simples
, e
são as singularidades isoladas de
no interior de
, então
onde
é o resíduo de
em
.
Como calcular resíduos (fórmulas úteis que vou aplicar):
- Se
é um polo simples de , então
- Se
com analítica em , com zero simples em e , então
Vou aplicar a primeira forma (limite) para cada singularidade, porque aqui as singularidades são simples ou removíveis.
Observação importante sobre notação:
é o coeficiente do termo
na expansão de Laurent de
em torno de
.
Passo 3
Classificação da singularidade em
e cálculo do resíduo em
.
Primeiro, veja que
tem zero simples em
(pois
). O denominador tem um fator
, logo a aparente singularidade em
pode ser removível se o zero de
anular o fator
do denominador.
Usando a expansão em série de Taylor de
ao redor de
:
Então
Assim
Como
é igual a
perto de
, fica claro que
é analítica em
(não há termo em
na expansão): a singularidade em
é removível. Logo o resíduo em
é zero. Podemos também obter isso diretamente pela fórmula do polo simples (limite):
Passo 4
Cálculo do resíduo em
.
Observe que
é uma raiz simples do fator
(pois
), e não é raiz do numerador
(em geral
). Logo
é um polo simples de
. Para um polo simples usamos
Fatorando
e cancelando
, obtemos
Calcule o denominador:
, então
. Portanto
Para deixar em forma real-imaginária útil, lembre que
. Aplicando com
,
portanto
Passo 5
Cálculo do resíduo em
.
Pelo mesmo raciocínio
é polo simples. Usando a definição:
Cancelando o fator
com
escrito como
, obtemos
Calcule o denominador:
, então
. Assim
Usando a imparidade de
,
, segue que
Se quisermos expressar em termos de
, com
,
Passo 6
Soma dos resíduos dentro de
e aplicação do teorema dos resíduos.
Já vimos:
Somando:
Pelo teorema dos resíduos,
(Foi conveniente notar que os resíduos em
e
se anulam por simetria:
é ímpar e os fatores do denominador dão sinais que causam cancelamento.)