Resolva pelo método que achar conveniente as integrais das funções
(a) f(z)=\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}} \quad C : ao longo do retângulo com lados x= \pm 1 e y \pm 1 (orientação positiva)

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de contorno
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}\,dz
onde C é o retângulo com lados em x=\pm 1 e y=\pm 1 com orientação positiva (sentido anti-horário). Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é f(z)=\dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}.
  • O contorno C é um retângulo centrado na origem, portanto o ponto z=0 está dentro de C.
  • A única singularidade de f dentro do contorno é em z=0 (pois \operatorname{cosh} z é inteira — analítica em todo \mathbb{C} — e o denominador dá singularidade apenas em z=0).
  • A orientação é positiva (contra-horária), o que é o padrão usado no Teorema dos Resíduos para aplicar 2\pi i vezes a soma dos resíduos.

Passo 2

Escolhendo o método: vou usar o Teorema dos Resíduos, pois ele é a ferramenta direta para integrar funções meromorfas em contornos fechados: a integral é 2\pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades internas. Para encontrar esse resíduo em z=0 há duas maneiras equivalentes e simples aqui:
  1. Obter a expansão em série de Laurent de \dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}} e ler o coeficiente de z^{-1} (definição de resíduo).
  2. Usar a fórmula do resíduo para polo de ordem n.
    Vou aplicar primeiro a ideia mais direta e intuitiva (expansão em série), e depois mostrarei rapidamente a verificação via fórmula do resíduo (para consolidar a compreensão).
Antes disso, uma breve aula sobre os conceitos que usarei:
  • Teorema dos Resíduos: se f é analítica em uma região exceto por um número finito de singularidades isoladas a_k dentro de um contorno fechado simples C, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k \operatorname{Res}(f,a_k).
  • Resíduo: em torno de uma singularidade isolada a, a série de Laurent de f é
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n,
e o resíduo é a_{-1}, o coeficiente de (z-a)^{-1}.
  • Fórmula para polo de ordem n em a: se f tem polo de ordem n em a, então
\operatorname{Res}(f,a)=\dfrac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}\dfrac{d^{\,n-1}}{dz^{\,n-1}}\left[(z-a)^{n}f(z)\right].
Aqui teremos um polo de ordem 4 em z=0, portanto a fórmula com n=4 é aplicável.

Passo 3

Expansão em série (método escolhido, passo a passo):
  • Lembrar a série de Maclaurin de \operatorname{cosh} z. A definição e expansão conhecida:
\operatorname{cosh} z = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{z^{2k}}{(2k)!} = 1 + \dfrac{z^{2}}{2!} + \dfrac{z^{4}}{4!} + \dfrac{z^{6}}{6!} + \cdots.
Explico por que: \operatorname{cosh} z = \dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2} e a série de e^{z} é \sum_{n=0}^\infty z^n/n!; somando com e^{-z} cancelam os termos ímpares e sobra só potências pares com fator (2k)!.
  • Agora dividimos por z^{4} para obter a série de Laurent para \dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}:
\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}} = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{z^{2k-4}}{(2k)!}.
Escrevendo os primeiros termos para visualizar os potenciais termos negativos:
\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}} = \dfrac{1}{z^{4}} + \dfrac{1}{2!}\dfrac{1}{z^{2}} + \dfrac{1}{4!} + \dfrac{z^{2}}{6!} + \cdots.
Observe a natureza dos expoentes: são 2k-4, ou seja valores …, -4,-2,0,2,\dots.
  • O resíduo em z=0 é o coeficiente do termo \dfrac{1}{z} (termo z^{-1}) na expansão de Laurent. Procuramos k tal que 2k-4 = -1. Resolvendo:
2k - 4 = -1 \quad\Rightarrow\quad 2k = 3 \quad\Rightarrow\quad k = \dfrac{3}{2},
que não é um inteiro. Portanto não existe termo z^{-1} na série; em outras palavras, o coeficiente de z^{-1} é zero. Concluímos:
\operatorname{Res}\!\left(\dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}},0\right)=0.

Passo 4

Verificação alternativa (fórmula do resíduo para polo de ordem 4) — mostra rápida para fixar:
  • Temos f(z)=\dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}} com polo de ordem n=4 em z=0.
  • A fórmula dá
\operatorname{Res}(f,0)=\dfrac{1}{3!}\lim_{z\to 0}\dfrac{d^{3}}{dz^{3}}\bigl[z^{4}\cdot \dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}\bigr] = \dfrac{1}{6}\left.\dfrac{d^{3}}{dz^{3}}\operatorname{cosh} z\right|_{z=0}.
  • Calcule as derivadas: \dfrac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{sinh} z, \dfrac{d^{2}}{dz^{2}}\operatorname{cosh} z=\operatorname{cosh} z, \dfrac{d^{3}}{dz^{3}}\operatorname{cosh} z=\operatorname{sinh} z. Avaliando em 0: \operatorname{sinh} 0 = 0. Logo
\operatorname{Res}(f,0)=\dfrac{1}{6}\cdot 0 = 0,
o que confirma o resultado obtido pela série.

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
  • Há apenas a singularidade em z=0 dentro do contorno C.
  • Portanto
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}\,dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}\!\left(\dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}},0\right).
Como já vimos que o resíduo é 0, obtemos
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}\,dz = 2\pi i \cdot 0 = 0.

Resposta

0

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