Resolva pelo método que achar conveniente as integrais das funções
(a) f(z)=\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}} \quad C : ao longo do retângulo com lados x= \pm 1 e y \pm 1 (orientação positiva)
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de contorno
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}\,dz
onde C é o retângulo com lados em x=\pm 1 e y=\pm 1 com orientação positiva (sentido anti-horário). Informações relevantes fornecidas:
A função integranda é f(z)=\dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}.
O contorno C é um retângulo centrado na origem, portanto o ponto z=0 está dentro de C.
A única singularidade de f dentro do contorno é em z=0 (pois \operatorname{cosh} z é inteira — analítica em todo \mathbb{C} — e o denominador dá singularidade apenas em z=0).
A orientação é positiva (contra-horária), o que é o padrão usado no Teorema dos Resíduos para aplicar 2\pi i vezes a soma dos resíduos.
Passo 2
Escolhendo o método: vou usar o Teorema dos Resíduos, pois ele é a ferramenta direta para integrar funções meromorfas em contornos fechados: a integral é 2\pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades internas. Para encontrar esse resíduo em z=0 há duas maneiras equivalentes e simples aqui:
Obter a expansão em série de Laurent de \dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}} e ler o coeficiente de z^{-1} (definição de resíduo).
Usar a fórmula do resíduo para polo de ordem n.
Vou aplicar primeiro a ideia mais direta e intuitiva (expansão em série), e depois mostrarei rapidamente a verificação via fórmula do resíduo (para consolidar a compreensão).
Antes disso, uma breve aula sobre os conceitos que usarei:
Teorema dos Resíduos: se f é analítica em uma região exceto por um número finito de singularidades isoladas a_k dentro de um contorno fechado simples C, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k \operatorname{Res}(f,a_k).
Resíduo: em torno de uma singularidade isolada a, a série de Laurent de f é
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n,
e o resíduo é a_{-1}, o coeficiente de (z-a)^{-1}.
Fórmula para polo de ordem n em a: se f tem polo de ordem n em a, então
Explico por que: \operatorname{cosh} z = \dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2} e a série de e^{z} é \sum_{n=0}^\infty z^n/n!; somando com e^{-z} cancelam os termos ímpares e sobra só potências pares com fator (2k)!.
Agora dividimos por z^{4} para obter a série de Laurent para \dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}:
Calcule as derivadas: \dfrac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{sinh} z, \dfrac{d^{2}}{dz^{2}}\operatorname{cosh} z=\operatorname{cosh} z, \dfrac{d^{3}}{dz^{3}}\operatorname{cosh} z=\operatorname{sinh} z. Avaliando em 0: \operatorname{sinh} 0 = 0. Logo
\operatorname{Res}(f,0)=\dfrac{1}{6}\cdot 0 = 0,
o que confirma o resultado obtido pela série.
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Há apenas a singularidade em z=0 dentro do contorno C.
Portanto
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}\,dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}\!\left(\dfrac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}},0\right).
Como já vimos que o resíduo é 0, obtemos
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh} z}{z^{4}}\,dz = 2\pi i \cdot 0 = 0.