Calcule explicitamente as integrais de caminho para as seguintes funções e contornos respectivos:
(c) f(z)=\frac{z}{2} \quad C : parábola com vértice em (x, y)=(1,2) e que cruza o eixo y em y=5 (calcule a integral entre estes pontos da parábola)

Passo 1

O enunciado pede a integral de caminho da função f(z)=\dfrac{z}{2} ao longo da parábola C que tem vértice em (x,y)=(1,2) e que cruza o eixo y em y=5. Devemos calcular explicitamente a integral entre estes dois pontos da parábola (ou seja, do ponto vértice até o ponto onde a parábola cruza o eixo y). Informações dadas que vamos usar:
\text{vértice: }(1,2),\qquad \text{ponto no eixo }y:\;(0,5),é
f(z)=\frac{z}{2},\qquad z=x+iy.
A integral pedida é \displaystyle\int_{C}\frac{z}{2}\,dz ao longo da parábola que liga (1,2) a (0,5).

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): integral de linha de uma função complexa. Se z(t) é uma parametrização de C para t\in[a,b], então
\int_C f(z)\,dz=\int_a^b f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.
Mas existe um atalho poderoso: se f tem uma primitiva (ou antiderivada) F em uma região que contém C, então a integral depende apenas dos extremos e vale
\int_C f(z)\,dz = F\big(z(b)\big)-F\big(z(a)\big).
Aqui f(z)=\dfrac{z}{2} é uma função polinomial inteira (analítica em todo \mathbb{C}), logo tem primitiva global. Vamos usar essa primitiva porque simplifica muito os cálculos — em prova isso é quase sempre a melhor escolha quando existe.

Passo 3

Encontrar a primitiva F. Queremos F'(z)=\dfrac{z}{2}. Integramos em z:
F(z)=\frac{z^2}{4}+C,
onde C é constante irrelevante para a integral entre pontos. Portanto
\int_C \frac{z}{2}\,dz = \frac{z^2}{4}\Big|_{z_{\text{inicial}}}^{z_{\text{final}}}=\frac{z_{\text{final}}^2-z_{\text{inicial}}^2}{4}.

Passo 4

Precisamos dos pontos inicial e final como números complexos. O vértice é (1,2) e o ponto no eixo y é (0,5) (esses dados vieram do enunciado). Assim
z_{\text{inicial}}=1+2i,\qquad z_{\text{final}}=0+5i=5i.

Passo 5

Calcular as potências necessárias com cuidado (passo a passo, como na prova). Primeiro
z_{\text{final}}^2=(5i)^2=25i^2=25(-1)=-25.
Em seguida
z_{\text{inicial}}^2=(1+2i)^2=1^2+2\cdot1\cdot2i+(2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i+4(-1)=1+4i-4=-3+4i.

Passo 6

Subtrair e dividir por 4:
z_{\text{final}}^2-z_{\text{inicial}}^2 = -25 -(-3+4i) = -25+3-4i = -22-4i.
Portanto
\int_C \frac{z}{2}\,dz = \frac{-22-4i}{4} = -\frac{11}{2}-i.

Resposta

\displaystyle -\frac{11}{2}-i

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