Calcule explicitamente as integrais de caminho para as seguintes funções e contornos respectivos:
(c) f(z)=\frac{z}{2} \quad C : parábola com vértice em (x, y)=(1,2) e que cruza o eixo y em y=5 (calcule a integral entre estes pontos da parábola)
Passo 1
O enunciado pede a integral de caminho da função f(z)=\dfrac{z}{2} ao longo da parábola C que tem vértice em (x,y)=(1,2) e que cruza o eixo y em y=5. Devemos calcular explicitamente a integral entre estes dois pontos da parábola (ou seja, do ponto vértice até o ponto onde a parábola cruza o eixo y). Informações dadas que vamos usar:
\text{vértice: }(1,2),\qquad \text{ponto no eixo }y:\;(0,5),
f(z)=\frac{z}{2},\qquad z=x+iy.
A integral pedida é \displaystyle\int_{C}\frac{z}{2}\,dz ao longo da parábola que liga (1,2) a (0,5).
Passo 2
Conceito útil (aula rápida): integral de linha de uma função complexa. Se z(t) é uma parametrização de C para t\in[a,b], então
Mas existe um atalho poderoso: se f tem uma primitiva (ou antiderivada) F em uma região que contém C, então a integral depende apenas dos extremos e vale
Aqui f(z)=\dfrac{z}{2} é uma função polinomial inteira (analítica em todo \mathbb{C}), logo tem primitiva global. Vamos usar essa primitiva porque simplifica muito os cálculos — em prova isso é quase sempre a melhor escolha quando existe.
Passo 3
Encontrar a primitiva F. Queremos F'(z)=\dfrac{z}{2}. Integramos em z:
F(z)=\frac{z^2}{4}+C,
onde C é constante irrelevante para a integral entre pontos. Portanto