Resolva f(x)=x^{3}-2 x-5 com o método da bisseção. Utilize o intervalo [2,3] e calcule até obter erro inferior a 0,1 \%.

Passo 1

O problema pede a raiz da função
f(x)=x^{3}-2x-5
no intervalo [2,3] usando o método da bisseção, até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas seja inferior a 0,1\%. Vamos precisar de:
  1. Verificar que f(2) e f(3) têm sinais opostos (teorema do valor intermediário).
  2. Aplicar o critério da bisseção para gerar as aproximações c_n.
  3. Usar o erro relativo
E_n = \frac{\lvert c_n - c_{n-1}\rvert}{\lvert c_n\rvert}\times100\%
e parar quando E_n<0,1\%.

Passo 2

Calculamos
f(2)=2^{3}-2\cdot2-5=8-4-5=-1<0,
f(3)=3^{3}-2\cdot3-5=27-6-5=16>0.
Como f(2)\cdot f(3)<0, existe pelo menos uma raiz em [2,3]. Podemos aplicar bisseção.

Passo 3

Na bisseção, a cada iteração n definimos
c_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},
avaliamos f(c_n) e escolhemos o subintervalo [a_n,b_n] em que ocorra troca de sinal. Em seguida calculamos
E_n=\frac{\lvert c_n-c_{n-1}\rvert}{\lvert c_n\rvert}\times100\%
e comparamos com 0,1\%.

Passo 4

A seguir listamos as primeiras cinco iterações:
n =1: [a_0,b_0]=[2,3],
c_{1}=2{,}5,\quad f(c_{1})=5{,}625>0\implies[a_{1},b_{1}]=[2,2{,}5].
n =2:
c_{2}=2{,}25,\quad f(c_{2})\approx1{,}89>0\implies[a_{2},b_{2}]=[2,2{,}25].
n =3:
c_{3}=2{,}125,\quad f(c_{3})\approx0{,}345>0\implies[a_{3},b_{3}]=[2,2{,}125].
n =4:
c_{4}=2{,}0625,\quad f(c_{4})\approx-0{,}362<0\implies[a_{4},b_{4}]=[2{,}0625,2{,}125].
n =5:
c_{5}=2{,}09375,\quad f(c_{5})\approx-0{,}004<0\implies[a_{5},b_{5}]=[2{,}09375,2{,}125].
Até aqui não calculamos E_n porque o erro relativo ainda é grande.

Passo 5

Continuando:
n =6:
c_{6}=2{,}109375,\quad f(c_{6})\approx0{,}167>0\implies[a_{6},b_{6}]=[2{,}09375,2{,}109375].
Erro relativo
E_{6}=\frac{\lvert2{,}109375-2{,}09375\rvert}{2{,}109375}\times100\%\approx0{,}74\%>0,1\%.
n =7:
c_{7}=2{,}1015625,\quad f(c_{7})\approx0{,}077>0\implies[a_{7},b_{7}]=[2{,}09375,2{,}1015625].
E_{7}=\frac{\lvert2{,}1015625-2{,}109375\rvert}{2{,}1015625}\times100\%\approx0{,}37\%>0,1\%.
n =8:
c_{8}=2{,}09765625,\quad f(c_{8})\approx0{,}0347>0\implies[a_{8},b_{8}]=[2{,}09375,2{,}09765625].
E_{8}=\frac{\lvert2{,}09765625-2{,}1015625\rvert}{2{,}09765625}\times100\%\approx0{,}19\%>0,1\%.
n =9:
c_{9}=2{,}095703125,\quad f(c_{9})\approx0{,}0153>0\implies[a_{9},b_{9}]=[2{,}09375,2{,}095703125].
E_{9}=\frac{\lvert2{,}095703125-2{,}09765625\rvert}{2{,}095703125}\times100\%\approx0{,}093\%<0,1\%.
Aqui satisfazemos o critério de erro.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx2{,}095703125
obtida em 9 iterações, com erro relativo inferior a 0,1\%.

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