Uma equação de engenharia é dada por f(x)=x^{3}+x \sin (x)-1. Resolva-a usando o método da falsa posição entre x=0 e x=1. Mostre as quatro primeiras iterações

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=x^{3}+x\sin(x)-1
no intervalo [0,1] usando o método da falsa posição.
Conteúdo: método da falsa posição (regula falsi), que em cada iteração define
c = \frac{a\,f(b) - b\,f(a)}{f(b)-f(a)}
e substitui o ponto cujos sinais de f coincidem.

Passo 2

Avaliaremos primeiro
f(0)=0^{3}+0\sin(0)-1=-1, \qquad f(1)=1^{3}+1\sin(1)-1=\sin(1)\approx0,84147.
Aplica-se a fórmula de falsa posição para obter c_{1}:
c_{1} = \frac{0\cdot f(1) - 1\cdot f(0)}{f(1)-f(0)} = \frac{-(-1)}{0,84147-(-1)} = \frac{1}{1,84147} \approx 0,54326.
Calcula-se
f(c_{1}) = (0,54326)^{3} + 0,54326\,\sin(0,54326)-1 \approx 0,1605 + 0,2813 -1 = -0,5582.
Como f(c_{1})<0 e f(1)>0, substituímos a\leftarrow c_{1}.

Passo 3

Segunda iteração com a=0,54326, f(a)\approx-0,5582 e b=1, f(b)\approx0,84147.
c_{2} = \frac{0,54326\cdot0,84147 - 1\cdot(-0,5582)}{0,84147-(-0,5582)} = \frac{0,4571 + 0,5582}{1,3997} \approx0,72559.
Avalia-se
f(c_{2}) \approx(0,72559)^{3} + 0,72559\,\sin(0,72559)-1 \approx0,3819 + 0,4812 -1 = -0,1369.
Novamente f(c_{2})<0, então a\leftarrow c_{2}.

Passo 4

Terceira iteração com a=0,72559, f(a)\approx-0,1369, b=1, f(b)\approx0,84147.
c_{3} = \frac{0,72559\cdot0,84147 - 1\cdot(-0,1369)}{0,84147-(-0,1369)} = \frac{0,6107 + 0,1369}{0,9784} \approx0,76426.
Calcula
f(c_{3}) \approx(0,76426)^{3} + 0,76426\,\sin(0,76426)-1 \approx0,4462 + 0,5308 -1 = -0,0230.
Como f(c_{3})<0, faz-se a\leftarrow c_{3}.

Passo 5

Quarta iteração com a=0,76426, f(a)\approx-0,0230, b=1, f(b)\approx0,84147.
c_{4} = \frac{0,76426\cdot0,84147 - 1\cdot(-0,0230)}{0,84147-(-0,0230)} = \frac{0,6433 + 0,0230}{0,8645} \approx0,77100.
E
f(c_{4}) \approx(0,77100)^{3} + 0,77100\,\sin(0,77100)-1 \approx0,4583 + 0,5371 -1 = -0,0046.
Como f(c_{4})<0, o novo a seria c_{4}, mas já temos as quatro primeiras iterações.

Resposta

As aproximações obtidas nas quatro primeiras iterações são:
c_{1}\approx0,54326,\quad c_{2}\approx0,72559,\quad c_{3}\approx0,76426,\quad c_{4}\approx0,77100.

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