Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=3 x1+6 x2 x2^prime=-x1-2 x2

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear autônomo
x1' = 3x1+6x2, x2' = -x1-2x2,
e pede que usemos o método matricial (autovalores e autovetores) para achar a solução geral vec x(t), analisar o comportamento quando tto+infty, classificar a origem como ponto de equilíbrio (estável ou instável, nó, sela, foco ou centro) e esboçar as trajetórias.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema
A = 3 & 6 [6pt] -1 & -2
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det3-lambda & 6 [3pt] -1 & -2-lambda = (3-lambda)(-2-lambda) - (6)(-1) = lambda^2-lambda
Logo
lambda(lambda-1)=0 Longrightarrow lambda1=0, lambda2=1
]

Passo 3

Para lambda1=0 resolvemos (A-0cdot I)v=0, ou seja
3 & 6 [3pt] -1 & -2 v1 v2 =0 ;Rightarrow; 3v1+6v2=0 ;Rightarrow; v1=-2v2
Escolhendo v2=1 obtemos o autovetor
v^(1) = -21
Para lambda2=1 resolvemos (A-I)v=0, ou seja
2 & 6 [3pt] -1 & -3 v1 v2 =0 ;Rightarrow; 2v1+6v2=0 ;Rightarrow; v1=-3v2
Escolhendo v2=1 fica
v^(2) = -31
]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos
vec x(t) = C1,e^0cdot t,v^(1) ;+; C2,e^1cdot t,v^(2) = C1-21 ;+; C2e^t-31

Passo 5

Quando tto+infty, o termo C2e^t domina sempre que C2neq0, fazendo |vec x(t)|toinfty. Se C2=0, então vec x(t)=C1(-2,1) é constante (há uma reta de pontos de equilíbrio). Portanto a origem não é assintoticamente estável; existe uma direção neutra ( lambda=0) e uma instável ( lambda=1), logo o ponto é não hiperbólico e instável do tipo nó–sela degenerado (ou saddle-node).

Passo 6

Esboço das trajetórias no plano (x1,x2):
  • A reta gerada por v^(1)=(-2,1) é eixo de pontos de equilíbrio (todas as soluções ali permanecem constantes).
  • A reta gerada por v^(2)=(-3,1) é a variedade instável: para C2neq0 as trajetórias saem exponencialmente da origem ao longo dessa direção.
  • Trajetórias gerais se aproximam, para tto-infty, de uma posição na reta de equilíbrio e, para tto+infty, alinham-se e divergem ao longo de v^(2).

Resposta

A solução geral é
boxed vec x(t) = C1-21 + C2e^t-31
Para tto+infty, se C2neq0 então |vec x(t)|toinfty. A origem é um ponto de equilíbrio não hiperbólico, instável, do tipo nó–sela degenerado (saddle-node).

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