Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando
. Verifique se a solução
é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear autônomo
e pede que usemos o método matricial (autovalores e autovetores) para achar a solução geral
, analisar o comportamento quando
, classificar a origem como ponto de equilíbrio (estável ou instável, nó, sela, foco ou centro) e esboçar as trajetórias.
Passo 2
Escrevemos a matriz do sistema
O polinômio característico é
Logo
]
Passo 3
Para
resolvemos
, ou seja
Escolhendo
obtemos o autovetor
Para
resolvemos
, ou seja
Escolhendo
fica
]
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos
Passo 5
Quando
, o termo
domina sempre que
, fazendo
. Se
, então
é constante (há uma reta de pontos de equilíbrio). Portanto a origem não é assintoticamente estável; existe uma direção neutra (
) e uma instável (
), logo o ponto é não hiperbólico e instável do tipo nó–sela degenerado (ou saddle-node).
Passo 6
Esboço das trajetórias no plano
:
- A reta gerada por
é eixo de pontos de equilíbrio (todas as soluções ali permanecem constantes). - A reta gerada por
é a variedade instável: para as trajetórias saem exponencialmente da origem ao longo dessa direção. - Trajetórias gerais se aproximam, para
, de uma posição na reta de equilíbrio e, para , alinham-se e divergem ao longo de .
Resposta
A solução geral é
Para
, se
então
. A origem é um ponto de equilíbrio não hiperbólico, instável, do tipo nó–sela degenerado (saddle-node).