Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \\\ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=-\frac{1}{2}\end{array} \quad\right. com \mathrm{x}^{0}=\binom{1.5}{3.2}

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva pelo Método de Newton o sistema
\begin{cases} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\\[4pt] x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=-\dfrac{1}{2} \end{cases}
a partir do chute inicial \mathbf{x}^{0}=\displaystyle\binom{1{,}5}{3{,}2} e com tolerância \varepsilon=10^{-3}.
Informações relevantes dadas:
  • Sistema não linear de duas equações e duas incógnitas.
  • Ponto inicial \mathbf{x}^{0}=\displaystyle\binom{1{,}5}{3{,}2}.
  • Critério de parada: \varepsilon=10^{-3} (vou usar a norma infinito do incremento, isto é, paro quando \|\Delta \mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon).
A partir daqui aplico o Método de Newton para sistemas usando essas informações.]

Passo 2

Apresentando o Método de Newton para sistemas (aula curta e prática):
  • Seja \mathbf{F}(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}f_{1}(\mathbf{x})\\[3pt] f_{2}(\mathbf{x})\end{pmatrix}. O Método de Newton itera
\mathbf{x}^{(k+1)}=\mathbf{x}^{(k)}+\Delta\mathbf{x}^{(k)},
onde \Delta\mathbf{x}^{(k)} é solução do sistema linear
J(\mathbf{x}^{(k)})\,\Delta\mathbf{x}^{(k)}=-\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(k)}).
  • Aqui J(\mathbf{x}) é a jacobiana de \mathbf{F}, matriz 2\times2 cujas linhas são os gradientes de f_{1} e f_{2}.
  • No nosso caso defino
f_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1,\qquad f_{2}(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+\tfrac{1}{2}.
  • A jacobiana é
J(x_{1},x_{2})=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \dfrac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \dfrac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_{1} & 2x_{2}\\[6pt] 2x_{1} & -2x_{2} \end{pmatrix}.
  • Em cada iteração: calcular \mathbf{F}(\mathbf{x}^{(k)}), montar J(\mathbf{x}^{(k)}), resolver J\Delta\mathbf{x}=-\mathbf{F} (por eliminação ou fórmula de Cramer) e atualizar \mathbf{x}. Paro quando \|\Delta\mathbf{x}\|_{\infty}<10^{-3}.]

Passo 3

Primeira iteração ( k=0), com \mathbf{x}^{(0)}=\displaystyle\binom{1{,}5}{3{,}2}.
Calculo dos componentes:
x_{1}^{2}=1{,}5^{2}=2{,}25,\qquad x_{2}^{2}=3{,}2^{2}=10{,}24.
Valores de \mathbf{F}:
f_{1}( \mathbf{x}^{(0)})=2{,}25+10{,}24-1=11{,}49,
f_{2}( \mathbf{x}^{(0)})=2{,}25-10{,}24+\tfrac{1}{2}= -7{,}49.
Portanto
\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(0)})=\begin{pmatrix}11{,}49\\[3pt]-7{,}49\end{pmatrix}.
Jacobiana em \mathbf{x}^{(0)}:
J(\mathbf{x}^{(0)})=\begin{pmatrix}2(1{,}5) & 2(3{,}2)\\[4pt]2(1{,}5) & -2(3{,}2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3{,}0 & 6{,}4\\[4pt]3{,}0 & -6{,}4\end{pmatrix}.
Resolvendo J\Delta\mathbf{x}=-\mathbf{F}, ou seja
\begin{pmatrix}3 & 6{,}4\\[3pt]3 & -6{,}4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Delta x_{1}\\[3pt]\Delta x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11{,}49\\[3pt]7{,}49\end{pmatrix}.
Usando Cramer (determinante D=3(-6{,}4)-3(6{,}4)=-38{,}4) obtemos
\Delta x_{1}=\frac{(-11{,}49)(-6{,}4)-6{,}4(7{,}49)}{-38{,}4}=\frac{25{,}6}{-38{,}4}=-\tfrac{2}{3}\approx-0{,}6666667,
\Delta x_{2}=\frac{3(7{,}49)-3(-11{,}49)}{-38{,}4}=\frac{56{,}94}{-38{,}4}\approx-1{,}48203125.
Atualizo:
\mathbf{x}^{(1)}=\mathbf{x}^{(0)}+\Delta\mathbf{x}= \begin{pmatrix}1{,}5-0{,}6666667\\[3pt]3{,}2-1{,}48203125\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0{,}8333333\\[3pt]1{,}71796875\end{pmatrix}.
Norma infinito do passo: \|\Delta\mathbf{x}\|_{\infty}\approx1{,}4820>\varepsilon. Continua.]

Passo 4

Segunda iteração ( k=1), com \mathbf{x}^{(1)}\approx\displaystyle\binom{0{,}8333333}{1{,}71796875}.
Calculo dos quadrados:
x_{1}^{2}\approx0{,}8333333^{2}=0{,}69444444,\qquad x_{2}^{2}\approx1{,}71796875^{2}\approx2{,}951416.
Então
\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(1)})=\begin{pmatrix}0{,}69444444+2{,}951416-1\\[3pt]0{,}69444444-2{,}951416+\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}2{,}64586044\\[3pt]-1{,}75697156\end{pmatrix}.
Jacobiana:
J(\mathbf{x}^{(1)})=\begin{pmatrix}2(0{,}8333333) & 2(1{,}71796875)\\[3pt]2(0{,}8333333) & -2(1{,}71796875)\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}1{,}6666667 & 3{,}4359375\\[3pt]1{,}6666667 & -3{,}4359375\end{pmatrix}.
Resolvendo J\Delta\mathbf{x}=-\mathbf{F}, obtemos (Cramer ou eliminação)
\Delta\mathbf{x}\approx\begin{pmatrix}-0{,}266703\\[3pt]-0{,}640788\end{pmatrix}.
Atualizo:
\mathbf{x}^{(2)}=\mathbf{x}^{(1)}+\Delta\mathbf{x}\approx \begin{pmatrix}0{,}8333333-0{,}266703\\[3pt]1{,}71796875-0{,}640788\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0{,}5666303\\[3pt]1{,}07718075\end{pmatrix}.
Norma infinito do passo: \|\Delta\mathbf{x}\|_{\infty}\approx0{,}6408>\varepsilon. Continua.]

Passo 5

Terceira iteração ( k=2), com \mathbf{x}^{(2)}\approx\displaystyle\binom{0{,}5666303}{1{,}07718075}.
Quadrados aproximados:
x_{1}^{2}\approx0{,}32106,\qquad x_{2}^{2}\approx1{,}16033.
Valores de \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(2)})\approx\begin{pmatrix}0{,}481392\\[3pt]-0{,}339258\end{pmatrix}.
Jacobiana:
J(\mathbf{x}^{(2)})\approx\begin{pmatrix}1{,}1332606 & 2{,}1543615\\[3pt]1{,}1332606 & -2{,}1543615\end{pmatrix}.
Resolvendo J\Delta\mathbf{x}=-\mathbf{F} obtemos
\Delta\mathbf{x}\approx\begin{pmatrix}-0{,}06277\\[3pt]-0{,}1905\end{pmatrix}.
Atualizo:
\mathbf{x}^{(3)}=\mathbf{x}^{(2)}+\Delta\mathbf{x}\approx \begin{pmatrix}0{,}5038603\\[3pt]0{,}8866808\end{pmatrix}.
Norma infinito do passo: \|\Delta\mathbf{x}\|_{\infty}\approx0{,}1905>\varepsilon. Continua.]

Passo 6

Quarta iteração ( k=3), com \mathbf{x}^{(3)}\approx\displaystyle\binom{0{,}5038603}{0{,}8866808}.
Quadrados aproximados:
x_{1}^{2}\approx0{,}253876,\qquad x_{2}^{2}\approx0{,}786203.
Valores de \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(3)})\approx\begin{pmatrix}0{,}040079\\[3pt]-0{,}032327\end{pmatrix}.
Jacobiana:
J(\mathbf{x}^{(3)})\approx\begin{pmatrix}1{,}0077206 & 1{,}7733616\\[3pt]1{,}0077206 & -1{,}7733616\end{pmatrix}.
Resolvendo J\Delta\mathbf{x}=-\mathbf{F} obtemos
\Delta\mathbf{x}\approx\begin{pmatrix}-0{,}003845\\[3pt]-0{,}02043\end{pmatrix}.
Atualizo:
\mathbf{x}^{(4)}=\mathbf{x}^{(3)}+\Delta\mathbf{x}\approx \begin{pmatrix}0{,}5000153\\[3pt]0{,}8662508\end{pmatrix}.
Norma infinito do passo: \|\Delta\mathbf{x}\|_{\infty}\approx0{,}02043>\varepsilon. Continua.]

Passo 7

Quinta iteração ( k=4), com \mathbf{x}^{(4)}\approx\displaystyle\binom{0{,}5000153}{0{,}8662508}.
Quadrados aproximados:
x_{1}^{2}\approx0{,}2500153,\qquad x_{2}^{2}\approx0{,}750390.
Valores de \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(4)})\approx\begin{pmatrix}0{,}0004053\\[3pt]-0{,}0003747\end{pmatrix}.
Jacobiana:
J(\mathbf{x}^{(4)})\approx\begin{pmatrix}1{,}0000306 & 1{,}7325016\\[3pt]1{,}0000306 & -1{,}7325016\end{pmatrix}.
Resolvendo J\Delta\mathbf{x}=-\mathbf{F} obtemos
\Delta\mathbf{x}\approx\begin{pmatrix}-0{,}00001531\\[3pt]-0{,}0002251\end{pmatrix}.
Agora a norma infinito do passo é
\|\Delta\mathbf{x}\|_{\infty}\approx0{,}0002251<\varepsilon=0{,}001.
Logo o critério de parada é satisfeito e eu paro aqui.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}\approx\begin{pmatrix}0{,}5000000\\[3pt]0{,}8660257\end{pmatrix}]

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