Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir. \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \\\ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=-\frac{1}{2}\end{array} \quad\right. com \mathrm{x}^{0}=\binom{1.5}{3.2}
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva pelo Método de Newton o sistema
a partir do chute inicial \mathbf{x}^{0}=\displaystyle\binom{1{,}5}{3{,}2} e com tolerância \varepsilon=10^{-3}.
Informações relevantes dadas:
Sistema não linear de duas equações e duas incógnitas.
Ponto inicial \mathbf{x}^{0}=\displaystyle\binom{1{,}5}{3{,}2}.
Critério de parada: \varepsilon=10^{-3} (vou usar a norma infinito do incremento, isto é, paro quando \|\Delta \mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon).
A partir daqui aplico o Método de Newton para sistemas usando essas informações.]
Passo 2
Apresentando o Método de Newton para sistemas (aula curta e prática):
Seja \mathbf{F}(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}f_{1}(\mathbf{x})\\[3pt] f_{2}(\mathbf{x})\end{pmatrix}. O Método de Newton itera
Em cada iteração: calcular \mathbf{F}(\mathbf{x}^{(k)}), montar J(\mathbf{x}^{(k)}), resolver J\Delta\mathbf{x}=-\mathbf{F} (por eliminação ou fórmula de Cramer) e atualizar \mathbf{x}. Paro quando \|\Delta\mathbf{x}\|_{\infty}<10^{-3}.]
Passo 3
Primeira iteração (k=0), com \mathbf{x}^{(0)}=\displaystyle\binom{1{,}5}{3{,}2}.