Ajuste os pontos abaixo à equação
e calcule o erro cometido.
0,10
1,50
3,30
4,50
5,00
1,77
2,17
2,48
2,99
3,15
|
|
0,10 | 1,50 | 3,30 | 4,50 | 5,00 |
|
|
1,77 | 2,17 | 2,48 | 2,99 | 3,15 |
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos\n
- Pede: ajustar os pontos à função
e calcular o erro cometido.\n - Dados (pego da tabela do enunciado):\n
\n
\n
\n
\n
\n - Vamos fornecer ao final os parâmetros
e do ajuste e uma medida do erro (explicarei e calcularei algumas medidas comuns).
Passo 2
Por que linearizar e qual método vamos usar (explicação didática)\n
- A função modelo é exponencial
. Tomando logaritmo natural dos dois lados obtemos uma relação linear entre e :\n
- Definindo
, o ajuste de por mínimos quadrados torna-se o ajuste linear de em função de :\n
onde
e
.\n
- Vamos aplicar regressão linear por mínimos quadrados à transformação
. Isso é padrão porque a exponencial se torna reta no espaço logarítmico, e o método de mínimos quadrados fornece os melhores parâmetros (no sentido de minimizar a soma dos quadrados dos erros em ).
Passo 3
Transformação dos dados: calcular
\n
- Calculei os
dos (valores numéricos aproximados):\n
\n
\n
\n
\n
\n - Estas são aproximações numéricas dos logaritmos naturais (usei arredondamento suficiente para cálculo manual).
Passo 4
Fórmulas de mínimos quadrados para a regressão linear (aula rápida)\n
- Para ajustar
com pontos , as fórmulas dos estimadores são:\n
onde
e
.\n
- Aqui
será nosso e será . Depois obtemos .\n - Explico:
é a soma dos produtos; o numerador é a covariância (proporcional) entre e ; o denominador é a variância de . Isso garante a melhor reta em sentido de soma de quadrados dos desvios em .
Passo 5
Calcular somas e médias necessárias (passo a passo com contas)\n
- Número de pontos:
.\n - Somatório dos
:\n \n - Média de
:\n \n - Somatório dos
:\n \n - Média de
:\n \n - Somatório de
(calculei termo a termo e somei):\n \n - Somatório de
:\n
Passo 6
Calcular
usando as somas (mostrar contas)\n
- Numerador:\n
\n - Denominador:\n
\n - Portanto:\n
Passo 7
Calcular
e
\n
- Usando
:\n \n - Então\n
\n - Resultado parcial: o ajuste exponencial é\n
Passo 8
Interpretação rápida dos parâmetros (didática amigável)\n
-
indica a taxa de crescimento no expoente: para um aumento unitário em multiplicamos a parte exponencial por , ou seja, cerca de 12,1% de aumento relativo por unidade de (interpretação percentual aproximada).\n -
é o valor quando (extrapolado): .
Passo 9
Calcular valores preditos
e resíduos
\n
- Para cada
:\n
\n
\n
\n
\n
\n - Os resíduos mostram o quanto cada observação difere da predição do modelo (positivo = observação acima da predição).
Passo 10
Medidas de erro: soma dos quadrados dos resíduos (SSE) e RMSE (aula curta)\n
- Uma medida comum de erro é a soma dos quadrados dos resíduos (SSE):\n
\n - Outro indicador fácil de interpretar é a raiz do erro quadrático médio (RMSE):\n
\n - Estas medidas usam resíduos em unidades originais de
; SSE mede erro total quadrático, RMSE dá erro típico por ponto.
Passo 11
Cálculo numérico do erro (contas)\n
- Quadrados dos resíduos (aproximados):\n
\n- Soma dos quadrados:\n \n- RMSE:\n \n- Observação: se quisermos o desvio padrão residual usual da regressão linear que desconta graus de liberdade, usaríamos ; aqui isso daria cerca de . Mas escolhi apresentar SSE e RMSE pois são medidas diretas e fáceis de interpretar.