Ajuste os pontos abaixo à equação g(x)=b \mathrm{e}^{a \mathrm{x}} e calcule o erro cometido.
x_{i} 0,10 1,50 3,30 4,50 5,00
y_{i} 1,77 2,17 2,48 2,99 3,15

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos\n
  • Pede: ajustar os pontos à função g(x)=b \mathrm{e}^{a x} e calcular o erro cometido.\n
  • Dados (pego da tabela do enunciado):\n
    x_{1}=0,10,\; y_{1}=1,77\n
    x_{2}=1,50,\; y_{2}=2,17\n
    x_{3}=3,30,\; y_{3}=2,48\n
    x_{4}=4,50,\; y_{4}=2,99\n
    x_{5}=5,00,\; y_{5}=3,15\n
  • Vamos fornecer ao final os parâmetros a e b do ajuste e uma medida do erro (explicarei e calcularei algumas medidas comuns).

Passo 2

Por que linearizar e qual método vamos usar (explicação didática)\n
  • A função modelo é exponencial g(x)=b\mathrm{e}^{a x}. Tomando logaritmo natural dos dois lados obtemos uma relação linear entre x e \ln y:\n
\ln g(x)=\ln b + a x.\n
  • Definindo z=\ln y, o ajuste de g por mínimos quadrados torna-se o ajuste linear de z em função de x:\n
z = \beta_0 + \beta_1 x,\n
onde \beta_0=\ln b e \beta_1=a.\n
  • Vamos aplicar regressão linear por mínimos quadrados à transformação z_i=\ln y_i. Isso é padrão porque a exponencial se torna reta no espaço logarítmico, e o método de mínimos quadrados fornece os melhores parâmetros (no sentido de minimizar a soma dos quadrados dos erros em z).

Passo 3

Transformação dos dados: calcular z_i=\ln y_i\n
  • Calculei os \ln dos y_i (valores numéricos aproximados):\n
    z_{1}=\ln(1,77)=0,57098\n
    z_{2}=\ln(2,17)=0,77537\n
    z_{3}=\ln(2,48)=0,90799\n
    z_{4}=\ln(2,99)=1,09509\n
    z_{5}=\ln(3,15)=1,14715\n
  • Estas são aproximações numéricas dos logaritmos naturais (usei arredondamento suficiente para cálculo manual).

Passo 4

Fórmulas de mínimos quadrados para a regressão linear (aula rápida)\n
  • Para ajustar z=\beta_0+\beta_1 x com n pontos (x_i,z_i), as fórmulas dos estimadores são:\n
\beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i z_i - n\bar{x}\bar{z}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2},\n
\beta_0 = \bar{z} - \beta_1 \bar{x},\n
onde \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i e \bar{z}=\dfrac{1}{n}\sum z_i.\n
  • Aqui \beta_1 será nosso a e \beta_0 será \ln b. Depois obtemos b=\mathrm{e}^{\beta_0}.\n
  • Explico: \sum x_i z_i é a soma dos produtos; o numerador é a covariância (proporcional) entre x e z; o denominador é a variância de x. Isso garante a melhor reta em sentido de soma de quadrados dos desvios em z.

Passo 5

Calcular somas e médias necessárias (passo a passo com contas)\n
  • Número de pontos: n=5.\n
  • Somatório dos x_i:\n \sum_{i=1}^{5} x_i = 0,10+1,50+3,30+4,50+5,00 = 14,4.\n
  • Média de x:\n \bar{x}=\frac{14,4}{5}=2,88.\n
  • Somatório dos z_i:\n \sum_{i=1}^{5} z_i = 0,57098+0,77537+0,90799+1,09509+1,14715 = 4,49658.\n
  • Média de z:\n \bar{z}=\frac{4,49658}{5}=0,899316.\n
  • Somatório de x_i z_i (calculei termo a termo e somei):\n \sum_{i=1}^{5} x_i z_i = 0,10\cdot0,57098 + 1,50\cdot0,77537 + 3,30\cdot0,90799 + 4,50\cdot1,09509 + 5,00\cdot1,14715 = 14,88018.\n
  • Somatório de x_i^2:\n \sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 0,10^2+1,50^2+3,30^2+4,50^2+5,00^2 = 58,4.

Passo 6

Calcular \beta_1=a usando as somas (mostrar contas)\n
  • Numerador:\n \sum x_i z_i - n\bar{x}\bar{z} = 14,88018 - 5\cdot(2,88)\cdot(0,899316) = 1,93202.\n
  • Denominador:\n \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 58,4 - 5\cdot(2,88)^2 = 16,928.\n
  • Portanto:\n a=\beta_1=\frac{1,93202}{16,928}=0,114142\text{ (aprox.)}.

Passo 7

Calcular \beta_0=\ln b e b\n
  • Usando \beta_0=\bar{z}-\beta_1\bar{x}:\n \ln b = 0,899316 - 0,114142\cdot 2,88 = 0,570587.\n
  • Então\n b=\mathrm{e}^{0,570587}=1,7696\text{ (aprox.)}.\n
  • Resultado parcial: o ajuste exponencial é\n g(x)=1,7696\;\mathrm{e}^{0,114142\,x}.

Passo 8

Interpretação rápida dos parâmetros (didática amigável)\n
  • a=0,114142 indica a taxa de crescimento no expoente: para um aumento unitário em x multiplicamos a parte exponencial por \mathrm{e}^{0,114142}\approx1,121, ou seja, cerca de 12,1% de aumento relativo por unidade de x (interpretação percentual aproximada).\n
  • b é o valor quando x=0 (extrapolado): g(0)=b\approx1,7696.

Passo 9

Calcular valores preditos \hat{y}_i=g(x_i) e resíduos r_i=y_i-\hat{y}_i\n
  • Para cada x_i:\n
    \hat{y}_1 = 1,7696\;\mathrm{e}^{0,114142\cdot 0,10} = 1,7899,\quad r_1 = 1,77 - 1,7899 = -0,0199.\n
    \hat{y}_2 = 1,7696\;\mathrm{e}^{0,114142\cdot 1,50} = 2,0996,\quad r_2 = 2,17 - 2,0996 = 0,0704.\n
    \hat{y}_3 = 1,7696\;\mathrm{e}^{0,114142\cdot 3,30} = 2,5791,\quad r_3 = 2,48 - 2,5791 = -0,0991.\n
    \hat{y}_4 = 1,7696\;\mathrm{e}^{0,114142\cdot 4,50} = 2,9581,\quad r_4 = 2,99 - 2,9581 = 0,0319.\n
    \hat{y}_5 = 1,7696\;\mathrm{e}^{0,114142\cdot 5,00} = 3,1329,\quad r_5 = 3,15 - 3,1329 = 0,0171.\n
  • Os resíduos mostram o quanto cada observação difere da predição do modelo (positivo = observação acima da predição).

Passo 10

Medidas de erro: soma dos quadrados dos resíduos (SSE) e RMSE (aula curta)\n
  • Uma medida comum de erro é a soma dos quadrados dos resíduos (SSE):\n \text{SSE}=\sum_{i=1}^{n} r_i^2.\n
  • Outro indicador fácil de interpretar é a raiz do erro quadrático médio (RMSE):\n \text{RMSE}=\sqrt{\frac{\text{SSE}}{n}}.\n
  • Estas medidas usam resíduos em unidades originais de y; SSE mede erro total quadrático, RMSE dá erro típico por ponto.

Passo 11

Cálculo numérico do erro (contas)\n
  • Quadrados dos resíduos (aproximados):\n r_1^2=0,000396,\; r_2^2=0,00495,\; r_3^2=0,00982,\; r_4^2=0,00102,\; r_5^2=0,00029.\n- Soma dos quadrados:\n \text{SSE}=0,000396+0,00495+0,00982+0,00102+0,00029=0,01648\text{ (aprox.)}.\n- RMSE:\n \text{RMSE}=\sqrt{\frac{0,01648}{5}}=\sqrt{0,003296}=0,0574\text{ (aprox.)}.\n- Observação: se quisermos o desvio padrão residual usual da regressão linear que desconta graus de liberdade, usaríamos \sqrt{\text{SSE}/(n-2)}; aqui isso daria cerca de 0,0741. Mas escolhi apresentar SSE e RMSE pois são medidas diretas e fáceis de interpretar.

Resposta

g(x)=1,7696\;\mathrm{e}^{0,114142\,x}\n
\text{SSE}=0,01648,\quad \text{RMSE}=0,0574

Exercícios relacionados