Ajuste os dados abaixo à equação z\left(x_{i}\right)=\frac{1}{1+e^{a+b x}}.
x_{i} 0,00 0,20 0,50 0,60 0,80 1,10
z\left(x_{i}\right) 0,06 0,12 0,30 0,60 0,73 0,74

Passo 1

O enunciado pede ajustar os dados à equação
z(x)=\frac{1}{1+e^{a+b x}}.
Dados fornecidos (peguei os valores na tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x_i & 0,00 & 0,20 & 0,50 & 0,60 & 0,80 & 1,10\\hline z(x_i) & 0,06 & 0,12 & 0,30 & 0,60 & 0,73 & 0,74 \end{array}
O que se quer: estimar os parâmetros a e b que melhor ajustam esses pontos à forma logística dada.

Passo 2

Transformação linear (por que isso funciona). Definimos a “odds” e o “logit”:
\text{odds}(x)=\frac{z(x)}{1-z(x)}.
Invertendo a forma dada obtemos
\frac{1}{z(x)}-1 = e^{a+b x}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1-z(x)}{z(x)}=e^{a+b x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\frac{1-z(x)}{z(x)}\right)=a+b x.
Assim, se definirmos
y_i=\ln\!\left(\frac{1-z(x_i)}{z(x_i)}\right),
temos um modelo linear
y_i = a + b x_i,
ou seja, podemos estimar a e b por regressão linear (mínimos quadrados) sobre os pares (x_i,y_i). Aqui y_i é chamado de logit de z(x_i).

Passo 3

Calcular y_i=\ln\!\big(\tfrac{1-z_i}{z_i}\big) para cada ponto. Vou mostrar o cálculo detalhado do primeiro e depois os resultados numéricos dos demais (usei \ln natural):
Para x_1=0,00, z_1=0,06:
\frac{1-z_1}{z_1}=\frac{0,94}{0,06}=\frac{47}{3}\quad\Rightarrow\quad y_1=\ln\!\left(\frac{47}{3}\right)=\ln(47)-\ln(3)\approx 2,7515353.
Agora os demais (fiz o mesmo procedimento):
\begin{array}{c|c|c} x_i & z_i & y_i=\ln\!\left(\dfrac{1-z_i}{z_i}\right)\\hline 0,00 & 0,06 & 2,7515353\\\\ 0,20 & 0,12 & 1,9924302\\\\ 0,50 & 0,30 & 0,8472979\\\\ 0,60 & 0,60 & -0,4054651\\\\ 0,80 & 0,73 & -0,9959831\\\\ 1,10 & 0,74 & -1,0459684 \end{array}

Passo 4

Preparar as somas necessárias para mínimos quadrados. Definimos
n=6,\quad S_x=\sum x_i,\quad S_y=\sum y_i,\quad S_{x^2}=\sum x_i^2,\quad S_{xy}=\sum x_i y_i.
Calculei:
S_x=0+0,20+0,50+0,60+0,80+1,10=3,20,
S_y\approx 2,7515353+1,9924302+0,8472979-0,4054651-0,9959831-1,0459684\approx 3,1438468,
S_{x^2}=0^2+0,20^2+0,50^2+0,60^2+0,80^2+1,10^2=2,50,
S_{xy}\approx 0\cdot2,7515353+0,20\cdot1,9924302+0,50\cdot0,8472979+0,60\cdot(-0,4054651)+0,80\cdot(-0,9959831)+1,10\cdot(-1,0459684)\approx -1,3684958.

Passo 5

Fórmulas dos mínimos quadrados (explicando o que é cada termo):
b=\frac{nS_{xy}-S_x S_y}{n S_{x^2} - S_x^2},
a=\frac{S_y - b S_x}{n}.
Aqui b é a inclinação da reta y=a+b x e a o intercepto; as fórmulas vêm da minimização da soma dos quadrados dos resíduos \sum (y_i - a - b x_i)^2.

Passo 6

Calcular b substituindo os valores:
\text{numerador}=nS_{xy}-S_x S_y = 6\cdot(-1,3684958) - 3,20\cdot 3,1438468 \approx -8,2109748 - 10,0603098 \approx -18,2712845,
\text{denominador}=n S_{x^2} - S_x^2 = 6\cdot 2,50 - (3,20)^2 = 15 - 10,24 = 4,76,
b \approx \frac{-18,2712845}{4,76} \approx -3,8390193.

Passo 7

Calcular a:
a=\frac{S_y - b S_x}{n} \approx \frac{3,1438468 - (-3,8390193)\cdot 3,20}{6} = \frac{3,1438468 +12,2848618}{6} \approx \frac{15,4287086}{6}\approx 2,5714514.

Passo 8

Interpretar o resultado e escrever a função ajustada. Os parâmetros estimados são aproximadamente
a\approx 2,57145,\quad b\approx -3,83902.
A curva logística ajustada é, portanto,
\boxed{\,z(x)=\dfrac{1}{1+\exp\!\big(2,57145-3,83902\,x\big)}\, }.
Se quiser, podemos calcular os valores previstos \hat z(x_i) para checar o ajuste ponto a ponto — mas a forma acima já é a solução do ajuste pelo método do logit + regressão linear.

Resposta

a\approx 2,57145
b\approx -3,83902
z(x)=\dfrac{1}{1+\exp\!\big(2,57145-3,83902\,x\big)}

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