Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir. \left\{\begin{array}{l}x_{1}+3 \cdot \ln x_{1}-x_{2}^{2}=0 \\\\ 2 \cdot x_{1}^{2}-x_{1} \cdot x_{2}-5 \cdot x_{1}+1=0\end{array}\right. com \mathrm{x}^{0}=\binom{3.5}{2.2}
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva, pelo Método de Newton, o sistema
Tolerância para o critério de parada \displaystyle\varepsilon=10^{-3}.
O que vou entregar: iterações do Método de Newton até que a diferença entre duas iterações consecutivas tenha norma infinita menor que \varepsilon, mostrando passo a passo os cálculos.]
Passo 2
Regra do Método de Newton para sistemas 2×2 (explicação didática):
Defino o vetor função \displaystyle F(x)=\begin{pmatrix}F_{1}(x_{1},x_{2})\\[4pt]F_{2}(x_{1},x_{2})\end{pmatrix} com
Critério de parada (escolhido): parar quando \displaystyle \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon. Isto significa que todas as componentes mudaram menos que \varepsilon em módulo.
Vou executar iterações, calculando F, J, resolvendo a 2\times2 por fórmula de Cramer (ou eliminação) e verificando o critério.]
Passo 3
Começo com \displaystyle x^{(0)}=\binom{3,5}{2,2}.
Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=\max(6{,}10\cdot10^{-6},3{,}63\cdot10^{-6})=6{,}10\cdot10^{-6}<\varepsilon. Portanto o critério de parada foi satisfeito.]