Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+3 \cdot \ln x_{1}-x_{2}^{2}=0 \\\\ 2 \cdot x_{1}^{2}-x_{1} \cdot x_{2}-5 \cdot x_{1}+1=0\end{array}\right. com \mathrm{x}^{0}=\binom{3.5}{2.2}

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva, pelo Método de Newton, o sistema
\begin{cases} x_{1}+3\ln x_{1}-x_{2}^{2}=0,\\[4pt] 2x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}-5x_{1}+1=0, \end{cases}
usando tolerância \varepsilon=10^{-3} e chute inicial \displaystyle x^{0}=\binom{3,5}{2,2}.
Informações relevantes dadas:
  • Sistema de duas equações não-lineares em \displaystyle(x_{1},x_{2}).
  • Chute inicial \displaystyle x^{0}=\binom{3,5}{2,2}.
  • Tolerância para o critério de parada \displaystyle\varepsilon=10^{-3}.
O que vou entregar: iterações do Método de Newton até que a diferença entre duas iterações consecutivas tenha norma infinita menor que \varepsilon, mostrando passo a passo os cálculos.]

Passo 2

Regra do Método de Newton para sistemas 2×2 (explicação didática):
  • Defino o vetor função \displaystyle F(x)=\begin{pmatrix}F_{1}(x_{1},x_{2})\\[4pt]F_{2}(x_{1},x_{2})\end{pmatrix} com
F_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}+3\ln x_{1}-x_{2}^{2}, \qquad F_{2}(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}-5x_{1}+1.
  • A matriz Jacobiana J(x) tem entradas \displaystyle J_{ij}=\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}. Aqui:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}=1+\frac{3}{x_{1}},\qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}=-2x_{2},
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}=4x_{1}-x_{2}-5,\qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}=-x_{1}.
  • Iteração de Newton: dada \displaystyle x^{(k)}, resolve-se o sistema linear
J\bigl(x^{(k)}\bigr)\,s^{(k)}=F\bigl(x^{(k)}\bigr)
e define-se
x^{(k+1)}=x^{(k)}-s^{(k)}.
  • Critério de parada (escolhido): parar quando \displaystyle \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon. Isto significa que todas as componentes mudaram menos que \varepsilon em módulo.
Vou executar iterações, calculando F, J, resolvendo a 2\times2 por fórmula de Cramer (ou eliminação) e verificando o critério.]

Passo 3

Começo com \displaystyle x^{(0)}=\binom{3,5}{2,2}.
  1. Calculo F\bigl(x^{(0)}\bigr).
F_{1}(3,5,2,2)=3,5+3\ln(3,5)-2,2^{2}.
Sabendo \ln(3,5)\approx1,252762968, então
F_{1}\approx3,5+3\cdot1,252762968-4,84\approx2,418288904.
F_{2}(3,5,2,2)=2\cdot3,5^{2}-3,5\cdot2,2-5\cdot3,5+1 =24,5-7,7-17,5+1=0,3.
Logo
F\bigl(x^{(0)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}2,418288904\\[4pt]0,3\end{pmatrix}.
  1. Calculo J\bigl(x^{(0)}\bigr).
J\bigl(x^{(0)}\bigr)= \begin{pmatrix} 1+\dfrac{3}{3,5} & -2\cdot2,2\\[8pt] 4\cdot3,5-2,2-5 & -3,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,857142857 & -4,4\\[4pt] 6,8 & -3,5 \end{pmatrix}.
  1. Resolvo J s = F. Usando determinante D=a d-b c:
D=1,857142857\cdot(-3,5)-(-4,4)\cdot6,8= -6,5+29,92=23,42.
Pelos determinantes:
s_{1}=\frac{F_{1}\cdot d - b\cdot F_{2}}{D} =\frac{2,418288904\cdot(-3,5)-(-4,4)\cdot0,3}{23,42} \approx\frac{-8,464011164+1,32}{23,42}\approx-0,305079,
s_{2}=\frac{a\cdot F_{2}-c\cdot F_{1}}{D} =\frac{1,857142857\cdot0,3-6,8\cdot2,418288904}{23,42} \approx\frac{0,557142857-16,444364547}{23,42}\approx-0,678654.
  1. Atualizo \displaystyle x^{(1)}=x^{(0)}-s:
x^{(1)}\approx\begin{pmatrix}3,5-(-0,305079)\\[4pt]2,2-(-0,678654)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3,805079\\[4pt]2,878654\end{pmatrix}.
  1. Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max(0,305079,0,678654)=0,678654>\varepsilon. Continuo.]

Passo 4

Agora \displaystyle x^{(1)}\approx\binom{3,805079}{2,878654}.
  1. Calculo F\bigl(x^{(1)}\bigr).
F_{1}\approx 3,805079+3\ln(3,805079)-2,878654^{2}.
Com \ln(3,805079)\approx1,336123 e 2,878654^{2}\approx8,287027, obtém-se
F_{1}\approx -0,473579.
F_{2}\approx 2\cdot3,805079^{2}-3,805079\cdot2,878654-5\cdot3,805079+1\approx-0,021633.
Logo
F\bigl(x^{(1)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-0,473579\\[4pt]-0,021633\end{pmatrix}.
  1. Calculo J\bigl(x^{(1)}\bigr).
J\bigl(x^{(1)}\bigr)\approx \begin{pmatrix} 1+\dfrac{3}{3,805079} & -2\cdot2,878654\\[6pt] 4\cdot3,805079-2,878654-5 & -3,805079 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1,788635 & -5,757308\\[4pt] 7,341666 & -3,805079 \end{pmatrix}.
  1. Resolvo J s = F. Determinante aproximado D\approx35,481. Pelas fórmulas:
s_{1}\approx0,04727,\qquad s_{2}\approx0,09686.
  1. Atualizo \displaystyle x^{(2)}=x^{(1)}-s:
x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}3,805079-0,04727\\[4pt]2,878654-0,09686\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3,757809\\[4pt]2,781795\end{pmatrix}.
  1. Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max(0,04727,0,09686)=0,09686>\varepsilon. Continuo.]

Passo 5

Agora \displaystyle x^{(2)}\approx\binom{3,757809}{2,781795}.
  1. Calculo F\bigl(x^{(2)}\bigr).
F_{1}\approx3,757809+3\ln(3,757809)-2,781795^{2}\approx-0,009347,
F_{2}\approx2\cdot3,757809^{2}-3,757809\cdot2,781795-5\cdot3,757809+1\approx-0,000377.
Logo
F\bigl(x^{(2)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-0,009347\\[4pt]-0,000377\end{pmatrix}.
  1. Calculo J\bigl(x^{(2)}\bigr).
J\bigl(x^{(2)}\bigr)\approx \begin{pmatrix} 1+\dfrac{3}{3,757809} & -2\cdot2,781795\\[6pt] 4\cdot3,757809-2,781795-5 & -3,757809 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1,798534 & -5,563590\\[4pt] 7,249441 & -3,757809 \end{pmatrix}.
  1. Resolvo J s = F. Determinante aproximado D\approx33,596. Pelas fórmulas:
s_{1}\approx0,000983,\qquad s_{2}\approx0,001997.
  1. Atualizo \displaystyle x^{(3)}=x^{(2)}-s:
x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}3,757809-0,000983\\[4pt]2,781795-0,001997\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3,756826\\[4pt]2,779798\end{pmatrix}.
  1. Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max(0,000983,0,001997)=0,001997>\varepsilon. Ainda maior que \varepsilon; faço mais uma iteração.]

Passo 6

Agora \displaystyle x^{(3)}\approx\binom{3,756826}{2,779798}.
  1. Calculo F\bigl(x^{(3)}\bigr) (valores muito pequenos):
F\bigl(x^{(3)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-9{,}35\cdot10^{-6}\\[4pt]3{,}05\cdot10^{-5}\end{pmatrix}.
  1. Calculo J\bigl(x^{(3)}\bigr) (aproximadamente):
J\bigl(x^{(3)}\bigr)\approx \begin{pmatrix} 1,798743 & -5,559596\\[4pt] 7,247506 & -3,756826 \end{pmatrix}.
  1. Resolvo J s = F. Como F é já muito pequeno, obtenho passos muito pequenos:
s\approx\begin{pmatrix}6{,}10\cdot10^{-6}\\[4pt]3{,}63\cdot10^{-6}\end{pmatrix}.
  1. Atualizo \displaystyle x^{(4)}=x^{(3)}-s:
x^{(4)}\approx\begin{pmatrix}3,756826-0,00000610\\[4pt]2,779798-0,00000363\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}3,756820\\[4pt]2,779794\end{pmatrix}.
  1. Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=\max(6{,}10\cdot10^{-6},3{,}63\cdot10^{-6})=6{,}10\cdot10^{-6}<\varepsilon. Portanto o critério de parada foi satisfeito.]

Resposta

\displaystyle x\approx\binom{3,756820}{2,779794}

Exercícios relacionados