Resolva pelo método de separação de variáveis:
\left\{\begin{array}{l}u_{t}=u_{x x} \\\ u_{x}(0, t)=0, \quad u_{x}(\pi, t)=0 \\\ u(x, 0)=2 \operatorname{sen} x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado é o problema de Cauchy para a equação do calor em 0\le x\le\pi, t>0, com condição de contorno de Neumann e condição inicial:
u_{t}=u_{xx},\quad u_{x}(0,t)=0,\quad u_{x}(\pi,t)=0,\quad u(x,0)=2\sin x.
Vamos usar o método de separação de variáveis: buscar soluções da forma u(x,t)=X(x)\,T(t).

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)\,T(t) em u_{t}=u_{xx} e dividindo por X\,T obtemos
\frac{T'}{T} \;=\;\frac{X''}{X} \;=\;-\,\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Isso gera o sistema
T'+\lambda T=0, \qquad X''+\lambda X=0,
com as condições X'(0)=0 e X'(\pi)=0.

Passo 3

O problema de autovalores em X
\lambda_n=n^2 para n=0,1,2,\dots, com autovetores
X_0(x)=1, \qquad X_n(x)=\cos(nx)\\ \\ (n\ge1),
pois \frac{d}{dx}\cos(nx)=-n\sin(nx) se anula em x=0 e x=\pi.
Para cada \lambda_n=n^2, a parte temporal é
T_n(t)=e^{-n^2\,t}.

Passo 4

A solução geral (série de Fourier em cossenos) é
u(x,t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n\,e^{-n^2 t}\,\cos(nx),
onde os coeficientes A_n serão ajustados à condição inicial u(x,0)=2\sin x.

Passo 5

Queremos
2\sin x = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(nx).
Pela ortogonalidade de \{\cos(nx)\} em [0,\pi],
A_0 =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin x\,dx =\frac{2\cdot2}{\pi} =\frac{4}{\pi},
e, para n\ge1,
A_n =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin x\cos(nx)\,dx =\frac{4}{\pi}\,\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx.
Um cálculo por identidades trigonométricas mostra que esse integral é zero para n ímpar e vale -\tfrac{2}{n^2-1} para n par. Logo, se n=2m,
A_{2m} =-\frac{8}{\pi\,(4m^2-1)},
e A_{n}=0 para n ímpar.

Resposta

u(x,t) = \frac{4}{\pi} + \sum_{m=1}^{\infty} \biggl(-\frac{8}{\pi\,(4m^2-1)}\biggr) e^{-4m^2\,t}\,\cos(2m\,x).

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