Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
O enunciado é o problema de Cauchy para a equação do calor em
,
, com condição de contorno de Neumann e condição inicial:
Vamos usar o método de separação de variáveis: buscar soluções da forma
.
Passo 2
Substituindo
em
e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação. Isso gera o sistema
com as condições
e
.
Passo 3
O problema de autovalores em
dá
para
, com autovetores
pois
se anula em
e
.
Para cada , a parte temporal é
Para cada
Passo 4
A solução geral (série de Fourier em cossenos) é
onde os coeficientes
serão ajustados à condição inicial
.
Passo 5
Queremos
Pela ortogonalidade de
em
,
e, para
,
Um cálculo por identidades trigonométricas mostra que esse integral é zero para
ímpar e vale
para
par. Logo, se
,
e
para
ímpar.