Resolva pelo método de separação de variáveis:
Note que as condições de contorno neste problema envolvem as derivadas de u. \left\{\begin{array}{l}u_{t}=u_{x x} \\\ u(0, t)=0, \quad u(20, t)=60 \\\ u(x, 0)=25\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da difusão
u_{t} = u_{xx}
em 0<x<20, t>0, com condições de contorno não-homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(20,t)=60
e condição inicial
u(x,0)=25.
O método que vamos usar é separação de variáveis, mas primeiro precisamos homogeneizar as condições de contorno.
Passo 2
Procuramos uma solução estacionária S(x) (independente de t) que satisfaça
S''(x)=0,\quad S(0)=0,\quad S(20)=60.
Integrando S''(x)=0 duas vezes e aplicando as condições obtém-se