Resolva pelo método de separação de variáveis:
Note que as condições de contorno neste problema envolvem as derivadas de u. \left\{\begin{array}{l}u_{t}=u_{x x} \\\ u(0, t)=0, \quad u(20, t)=60 \\\ u(x, 0)=25\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da difusão
u_{t} = u_{xx}
em 0<x<20, t>0, com condições de contorno não-homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(20,t)=60
e condição inicial
u(x,0)=25.
O método que vamos usar é separação de variáveis, mas primeiro precisamos homogeneizar as condições de contorno.

Passo 2

Procuramos uma solução estacionária S(x) (independente de t) que satisfaça
S''(x)=0,\quad S(0)=0,\quad S(20)=60.
Integrando S''(x)=0 duas vezes e aplicando as condições obtém-se
S(x)=\frac{60}{20}\,x=3x.

Passo 3

Definimos a função
v(x,t)=u(x,t)-S(x)=u(x,t)-3x.
Então v satisfaz
v_{t} = v_{xx},\quad v(0,t)=0-0=0,\quad v(20,t)=u(20,t)-60=0,
e a condição inicial fica
v(x,0)=u(x,0)-3x=25-3x.
Assim, reduzimos ao problema homogêneo de Dirichlet.

Passo 4

Pela separação de variáveis, escrevemos
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{20}x\bigr)\,\exp\!\bigl(-(\tfrac{n\pi}{20})^{2}t\bigr).
Os coeficientes B_{n} vêm da expansão de v(x,0)=25-3x em seno:
v(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{20}x\bigr).

Passo 5

O coeficiente B_{n} é dado por
B_{n}=\frac{2}{20}\int_{0}^{20}(25-3x)\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{20}x\bigr)\,dx =\frac{1}{10}\int_{0}^{20}(25-3x)\sin\bigl(a x\bigr)\,dx,
onde a=\tfrac{n\pi}{20}. Calculando a integral por parts e usando \sin(n\pi)=0, \cos(n\pi)=(-1)^{n}, encontra-se
\int_{0}^{20}(25-3x)\sin(a x)\,dx =\frac{1}{a}\bigl[500+700(-1)^{n}\bigr].
Logo
B_{n} =\frac{1}{10}\,\frac{1}{a}\bigl[500+700(-1)^{n}\bigr] =\frac{1}{n\pi}\bigl[50+70(-1)^{n}\bigr].

Passo 6

Voltando a u(x,t)=v(x,t)+3x, obtemos a solução completa:
u(x,t) =3x +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{50+70(-1)^{n}}{n\pi} \, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{20}x\bigr) \, \exp\!\Bigl(-\frac{n^{2}\pi^{2}}{400}\,t\Bigr).

Resposta

u(x,t) =3x +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{50+70(-1)^{n}}{n\pi} \, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{20}x\bigr) \, \exp\!\Bigl(-\frac{n^{2}\pi^{2}}{400}\,t\Bigr).

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