Sabe-se que
P(s)=Lp(t)=ss^4-64
Encontre:
Ache a transformada de Laplace a seguir, usando-se as propriedades da tabela e dê os valores de s para os quais a transformada existe, explicando os passos para a obtenção da solução
Lt^4+3 senh(13 t)-t^3 e^5 t
Na última não precisa tirar o mínimo e fazer simplificações.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de t^4 + 3sinh(13t) - t^3 e^5t, usando linearidade, tabela de transformadas e propriedade de deslocamento no eixo s. Vamos precisar de: transformada de t^n, de sinh(at) e de e^atf(t).

Passo 2

Para t^4, pela tabela temos Lt^n = n!/s^n+1. Assim:
Lt^4 = 4!s^5 = 24s^5
Essa parte converge para Re(s)>0.

Passo 3

Para 3sinh(13t), lembrando que sinh(at)=e^at-e^-at2 e que
Lsinh(at) = as^2 - a^2
obtemos:
L3sinh(13t) = 3cdot13s^2 - 169 = 39s^2 - 169
com região de convergência Re(s)>13.

Passo 4

Para t^3 e^5t, usamos a propriedade de deslocamento no eixo s:
Le^a tf(t) = F(s - a)
onde F(s)=Lf(t). Como Lt^3=6/s^4, segue:
Lt^3 e^5t = 6(s-5)^4
com convergência para Re(s-5)>0, isto é Re(s)>5.

Passo 5

Agora, pela linearidade, somamos as três partes. A transformada pedida é
24s^5 + 39s^2 - 169 - 6(s-5)^4
A região de convergência é a interseção das condições Re(s)>0, Re(s)>13 e Re(s)>5, ou seja, Re(s)>13.

Resposta

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