Resolva:
Mostre que os pontos A(1,3,-1), B(2,1,-3) e C(-5,1,4) não são colineares;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: A(1,3,-1) , B(2,1,-3) e C(-5,1,4) . A pergunta é para mostrarmos que esses pontos não são colineares, ou seja, que eles não estão todos alinhados em uma única linha reta.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de vetores e colinearidade. Precisamos verificar se os vetores que conectam esses pontos são paralelos. Se não forem, então os pontos não estão na mesma linha.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor AB, que vai do ponto A para o ponto B. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (2-1, 1-3, -3-(-1)) = (1, -2, -2)
Esse vetor representa a direção de A para B.

Passo 3

Agora, calculamos o vetor AC, que vai do ponto A para o ponto C:
AC = C - A = (-5-1, 1-3, 4-(-1)) = (-6, -2, 5)
Esse vetor representa a direção de A para C.

Passo 4

Para verificar se os vetores AB e AC são paralelos, precisamos ver se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real k tal que:
AC = k cdot AB
Vamos comparar as componentes:
-6 = k cdot 1 Rightarrow k = -6
-2 = k cdot (-2) Rightarrow k = 1
5 = k cdot (-2) Rightarrow k = -2.5
Como obtemos valores diferentes para k em cada componente, isso significa que não existe um único k que satisfaça todas as igualdades simultaneamente.

Passo 5

Como não há um único escalar k que torne AC um múltiplo de AB, concluímos que os vetores não são paralelos. Portanto, os pontos A, B e C não estão na mesma linha reta.

Resposta

Os pontos A(1,3,-1) , B(2,1,-3) e C(-5,1,4) não são colineares.

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