Resolva:
Sabendo que o plano do item (2) é pi: 2x-y+2z+3=0, encontre a distância do ponto P(-2,-4,3) ao plano pi, usando a seguinte estratégia:
a. Obtenha a reta s passando por P e perpendicular a pi,
b. Em seguida, obtenha o ponto Q de interseção entre s e pi;
c. Conclua que d(P, pi)=d(P, Q). Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a distância entre um ponto P(-2, -4, 3) e um plano pi: 2x - y + 2z + 3 = 0 . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e distâncias no espaço tridimensional. Precisaremos entender como achar uma reta perpendicular ao plano e como calcular a distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta [s) que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano . Sabemos que a direção dessa reta é dada pelo vetor normal do plano. Olhando a equação do plano , o vetor normal é .
Então, a equação paramétrica da reta será:
Aqui, (t] é o parâmetro que vai variar para traçar a reta.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção Q entre a reta s e o plano pi . Para isso, substituímos as expressões paramétricas de x, y e z na equação do plano.
Substituindo:
2(-2 + 2t) - (-4 - t) + 2(3 + 2t) + 3 = 0
Expandindo:
-4 + 4t + 4 + t + 6 + 4t + 3 = 0
Somando os termos semelhantes:
9t + 9 = 0 implies t = -1
Agora, substituímos t = -1 nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas de Q :
x = -2 + 2(-1) = -4 y = -4 - (-1) = -3 z = 3 + 2(-1) = 1
Então, Q(-4, -3, 1) .

Passo 4

Para concluir, a distância d(P, pi) é a mesma que a distância entre os pontos P e Q . Vamos calcular isso usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
d = raiz(xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2 + (zQ - zP)^2
Substituindo:
d = raiz(-4 - (-2))^2 + (-3 - (-4))^2 + (1 - 3)^2 d = raiz(-2)^2 + (1)^2 + (-2)^2 d = raiz4 + 1 + 4 d = raiz9 d = 3

Resposta

A distância do ponto P(-2, -4, 3) ao plano pi é 3 unidades.

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