Seja A=(cccc1 & 1 & -2 & 0 1 & 2 & -2 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1).
Determine uma base e as respectivas dimensões para o espaço coluna de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do espaço coluna da matriz A . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais colunas da matriz são independentes e contam para formar a base, além de calcular quantas são essas colunas para determinar a dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço coluna de uma matriz A é formado por todas as combinações lineares das suas colunas. Para achar uma base desse espaço, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes.

Passo 3

Uma forma prática de identificar essas colunas independentes é montar a matriz A e realizar operações de linha para reduzi-la à forma escalonada. As colunas que contêm os pivôs (os primeiros elementos não nulos de cada linha) na matriz reduzida serão as colunas originais que formam a base do espaço coluna.

Passo 4

Vamos montar a matriz A :
A = 1 & 1 & -2 & 0 1 & 2 & -2 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1
Agora, vamos aplicar operações de linha para simplificar a matriz.

Passo 5

Subtraindo a primeira linha da segunda, temos:
1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1

Passo 6

Multiplicando a segunda linha por 2 e somando com a terceira linha para eliminar o elemento abaixo do pivô:
1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 4 & 0 0 & 1 & 1 & 1

Passo 7

Subtraindo a segunda linha da quarta, obtemos:
1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 1 & 0

Passo 8

Dividindo a terceira linha por 4 para simplificar:
1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0

Passo 9

Subtraindo a terceira linha da quarta para reduzir:
1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 10

Pronto! Agora, identificamos os pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso significa que as primeiras três colunas da matriz original são linearmente independentes e formam uma base para o espaço coluna.

Resposta

Uma base para o espaço coluna de A é formada pelas colunas 1, 2 e 3 de A :
1 1 0 0, 1 2 -2 1, -2 -2 4 1
A dimensão do espaço coluna de A é 3.

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