Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0
(Sol. \quad(x+y)^{2}=c x e^{y / x} )

Passo 1

Temos a equação diferencial
(x^{2}+y^{2})\,dx + (x^{2}-x y)\,dy = 0,
onde ambos os termos são homogêneos de grau 2 em x,y. Numa EDO homogênea, a substituição clássica é
y = u\,x,\quad dy = x\,du + u\,dx.

Passo 2

Substituindo y = u x em cada termo:
x^{2}+y^{2} = x^{2}(1+u^{2}), \qquad x^{2}-x y = x^{2}-x(u x) = x^{2}(1-u).
Logo
(x^{2}+y^{2})\,dx = x^{2}(1+u^{2})\,dx, \qquad (x^{2}-x y)\,dy = x^{2}(1-u)\,(x\,du + u\,dx).

Passo 3

Somando os dois termos e agrupando em dx e du:
x^{2}(1+u^{2})\,dx + x^{2}(1-u)\bigl(x\,du + u\,dx\bigr)=0
\implies x^{2}(1+u^{2})\,dx + x^{3}(1-u)\,du + x^{2}u(1-u)\,dx=0
\implies x^{2}\bigl[(1+u^{2})+u(1-u)\bigr]dx + x^{3}(1-u)\,du=0.
Note que (1+u^{2})+u(1-u)=1+u. Assim
x^{2}(1+u)\,dx + x^{3}(1-u)\,du=0.

Passo 4

Dividindo tudo por x^{2} (assumindo x\neq0):
(1+u)\,dx + x(1-u)\,du = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = -\frac{1-u}{1+u}\,du.
Agora temos variáveis separadas.

Passo 5

Integramos ambos os lados. À esquerda
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr|.
À direita, escrevemos
\frac{1-u}{1+u} = 1 - \frac{2u}{1+u},
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\int -\frac{1-u}{1+u}\,du = -\int\Bigl(1 - \frac{2u}{1+u}\Bigr)du = -\int du + 2\int\frac{u}{1+u}\,du.
Calculando
\int\frac{u}{1+u}\,du =\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+u}\Bigr)du = u - \ln\bigl|1+u\bigr|,
então
-\int du +2\int\frac{u}{1+u}\,du = -u +2\bigl(u - \ln|1+u|\bigr) = u -2\ln\bigl|1+u\bigr|.
Portanto
\ln|x| = u -2\ln\bigl|1+u\bigr| + C.

Passo 6

Voltemos a y com u = \tfrac{y}{x}. Reescrevemos
\ln|x| - u + 2\ln|1+u| = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl[x(1+u)^{2}\Bigr] - u = C.
Exponenciando,
x(1+u)^{2}\,e^{-u} = \tilde C.
Como 1+u = \tfrac{x+y}{x}, isso dá
x\,\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}}\,e^{-y/x} = \frac{(x+y)^{2}}{x}\,e^{-y/x} = \tilde C \quad\Longrightarrow\quad (x+y)^{2} = C\,x\,e^{y/x}.

Resposta

(x+y)^{2} = C\,x\,e^{y/x}.

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