Sejam
I \subset \mathbb{R} um intervalo aberto e
f: I \rightarrow \mathbb{R} uma função. Dado
a \in I, a reta tangente ao gráfico de
f no ponto (
a, f(a) ) é a (única) reta que passa pelo ponto (
a, f(a) ) e tem inclinação igual a
f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente
y=y(x) é dada por
y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a). A expressão acima significa que, quando
x se aproxima de
a, o quociente
(f(x)-f(a)) /(x-a) se aproxima do número
f^{\prime}(a).
Por exemplo, se
f(x)=x^{3} e
a=1, então
f^{\prime}(1)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1^{3}}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}{(x-1)}=\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x+1\right)=\left(1^{2}+1+1\right)=3,de modo que a equação da reta tangente no ponto
(1, f(1))=(1,1) é
y-1=3(x-1). Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
f^{\prime}(a) para o valor de
a indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
f no ponto (
a, f(a) )