Sejam I \subset \mathbb{R} um intervalo aberto e f: I \rightarrow \mathbb{R} uma função. Dado a \in I, a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f(a) ) é a (única) reta que passa pelo ponto ( a, f(a) ) e tem inclinação igual a
f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente y=y(x) é dada por y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a). A expressão acima significa que, quando x se aproxima de a, o quociente (f(x)-f(a)) /(x-a) se aproxima do número f^{\prime}(a).
Por exemplo, se f(x)=x^{3} e a=1, então
f^{\prime}(1)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1^{3}}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}{(x-1)}=\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x+1\right)=\left(1^{2}+1+1\right)=3,de modo que a equação da reta tangente no ponto (1, f(1))=(1,1) é y-1=3(x-1). Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^{\prime}(a) para o valor de a indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f(a) )
f(x)=x^{2}, para a=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inclinação da reta tangente, isto é f'(a), e em seguida a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2 no ponto a=2. Vamos usar a definição de derivada por limite e a fórmula da reta tangente
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).

Passo 2

Calculamos a derivada em a=2 pela definição
f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} =\lim_{x\to2}\frac{x^2-2^2}{x-2} =\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+2) =4.

Passo 3

Agora montamos a equação da reta tangente usando f(2)=2^2=4 e f'(2)=4:
y - 4 = 4\,(x - 2).
Simplificando,
y - 4 = 4x - 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 4x - 4.

Resposta

f'(2)=4.
A reta tangente é y=4x-4.

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