Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas ( V ou F ). Justifique sua resposta.
A série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\ln (n)-\ln (2)} é condicionalmente convergente;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n)-\ln(2)}
é condicionalmente convergente. O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz (alternating series test) para convergência condicional, e o Teste da Integral ou comparação para investigar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{1}{\ln(n)-\ln(2)} = \frac{1}{\ln\bigl(\tfrac n2\bigr)}.
Observamos que, para n\ge3:
  1. a_n>0.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n = 0, pois \ln(n)\to\infty.
  3. A função f(x)=1/\ln(x/2) é decrescente para x>2, logo a sequência (a_n) é decrescente a partir de n=3.

Passo 3

Pelas condições do Teste de Leibniz—sinal alternante, a_n decrescente e a_n\to0—concluímos que
\sum_{n=3}^{\infty} (-1)^{n+1}a_n
converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=3}^{\infty} \bigl|(-1)^{n+1}a_n\bigr| = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{\ln(n)-\ln(2)}.
Compare com a integral imprópria
\int_{3}^{\infty} \frac{dx}{\ln(x)-\ln(2)} = \int_{3}^{\infty} \frac{dx}{\ln(x/2)}.
Sabemos que
\int_{3}^{\infty} \frac{dx}{\ln(x/2)}
diverge (é do tipo integral do logaritmo, parecido com \int dx/\ln x). Logo a série de termos positivos \sum1/(\ln(n)-\ln2) diverge.

Passo 5

Como a série converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

V

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