Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas ( V ou F ). Justifique sua resposta.
A série -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+2}{e^{n}-2} é absolutamente convergente;

Passo 1

O enunciado nos dá a série
-2\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3+2}{e^n-2}
e pergunta se ela é absolutamente convergente. Para isso, vamos examinar a série dos módulos dos termos e usar um critério de convergência (por exemplo, o critério da razão), pois sabemos que o crescimento exponencial de e^n domina qualquer polinômio em n.

Passo 2

A série dos módulos dos termos é
\sum_{n=1}^\infty\Bigl|-2\frac{n^3+2}{e^n-2}\Bigr| =2\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3+2}{e^n-2}.
Se essa série converge, então a série original converge absolutamente.

Passo 3

Aplique o critério da razão a
a_n=\frac{n^3+2}{e^n-2}.
Calculamos
L =\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^3+2}{n^3+2} \cdot \frac{e^n-2}{e^{n+1}-2} =\;1\;\cdot\;\frac1e =\frac1e <1.
Como L<1, a série \sum a_n converge. Multiplicar por 2 não altera a convergência.

Passo 4

Concluímos que a série dos módulos converge, logo a série original converge absolutamente.

Resposta

Verdadeiro

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