Seja F=nabla f, onde f(x, y)=sin (x-2 y). Determine as curvas C1 e C2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação :
integralC2 F cdot d r=1.
(Dica: Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as curvas C1 e C2 que não são fechadas e que satisfaçam a equação:
integralC2 F cdot dr = 1
Aqui, F = nabla f , onde f(x, y) = sin(x - 2y) . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que conecta integrais de campo vetorial a funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente nabla f . O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f e tem componentes iguais às derivadas parciais de f :
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Calculando as derivadas de f(x, y) = sin(x - 2y) :
partial fpartial x = cos(x - 2y)
partial fpartial y = -2cos(x - 2y)
Então,
F = nabla f = ( cos(x - 2y), -2cos(x - 2y) )

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que, se F = nabla f , então:
integralC F cdot dr = f(r(b)) - f(r(a))
Onde C é uma curva que vai do ponto r(a) ao ponto r(b) .

Passo 4

Queremos que:
integralC2 F cdot dr = 1
De acordo com o teorema, isso significa que:
f(r(b)) - f(r(a)) = 1
Então, precisamos escolher dois pontos A e B tais que f(B) - f(A) = 1 . Uma forma simples é escolher A e B onde a diferença de f seja 1.

Passo 5

Vamos escolher A como o ponto (0, 0) . Calculando f(A) :
f(0, 0) = sin(0 - 2 cdot 0) = sin(0) = 0
Queremos que f(B) - f(A) = 1 , ou seja, f(B) = 1 .
Então, precisamos encontrar um ponto B = (x, y) tal que:
sin(x - 2y) = 1
Sabemos que sin(pi2) = 1 , então:
x - 2y = pi2 + 2kpi, k in Z
Vamos escolher k = 0 para simplificar:
x - 2y = pi2
Podemos escolher y = 0 , então:
x = pi2
Então, B = ( pi2, 0 )

Passo 6

Agora, temos os pontos A = (0, 0) e B = ( pi2, 0 ) .
Para a curva C2 , podemos escolher uma reta que vai de A a B . Assim, C2 é a linha reta de (0,0) a ( pi2, 0 ) .

Passo 7

Vamos verificar:
f(B) - f(A) = f( pi2, 0 ) - f(0, 0) = sin( pi2 - 0 ) - 0 = sin( pi2 ) = 1
Então, a condição está satisfeita:
integralC2 F cdot dr = 1

Resposta

As curvas C1 e C2 não fechadas que satisfazem a equação são linhas retas entre os pontos (0, 0) e ( pi2, 0 ) . Ou seja,
C1: reta de (0, 0) a ( pi2, 0 )
C2: reta de (0, 0) a ( pi2, 0 )
Ambas as curvas não são fechadas e obedecem:
integralC2 F cdot dr = 1

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