Seja
, onde
. Determine as curvas
e
que não sejam fechadas e satisfaçam a equação :
.
(Dica: Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha).
(Dica: Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as curvas
e
que não são fechadas e que satisfaçam a equação:
Aqui,
, onde
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que conecta integrais de campo vetorial a funções escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente
. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e tem componentes iguais às derivadas parciais de
:
Calculando as derivadas de
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que, se
, então:
Onde
é uma curva que vai do ponto
ao ponto
.
Passo 4
Queremos que:
De acordo com o teorema, isso significa que:
Então, precisamos escolher dois pontos
e
tais que
. Uma forma simples é escolher
e
onde a diferença de
seja 1.
Passo 5
Vamos escolher
como o ponto
. Calculando
:
Queremos que
, ou seja,
.
Então, precisamos encontrar um ponto
tal que:
Sabemos que
, então:
Vamos escolher
para simplificar:
Podemos escolher
, então:
Então,
Passo 6
Agora, temos os pontos
e
.
Para a curva
, podemos escolher uma reta que vai de
a
. Assim,
é a linha reta de
a
.
Passo 7
Vamos verificar:
Então, a condição está satisfeita:
Resposta
As curvas
e
não fechadas que satisfazem a equação são linhas retas entre os pontos
e
. Ou seja,
Ambas as curvas não são fechadas e obedecem: