Resolva quando possível, as congruência:
3 x equiv 5(bmod 7)

Passo 1

Beleza, temos a congruência
3x equiv 5 pmod 7
Isso é aritmética modular (congruências). Para resolver, a gente vai usar o conceito de inverso multiplicativo módulo 7: ou seja, achar um número que, multiplicado por 3, dê 1 (mod 7).

Passo 2

Primeiro, lembra que
a equiv b pmod m
significa que m divide a-b. Aqui isso quer dizer que 7 divide 3x - 5. Para “isolar” x, precisamos “cancelar” o 3, e em modulo a gente faz isso usando o inverso de 3 módulo 7 (já que gcd(3,7)=1, o inverso existe).

Passo 3

Vamos achar um número y tal que
3y equiv 1 pmod 7
Testando y=1,2,dots,6:
3·1=3≢1,
3·2=6≢1,
3·3=9≡2,
3·4=12≡5,
3·5=15≡1 (mod 7).
Aí está: y=5 é o inverso de 3 módulo 7, porque
3cdot5 equiv 1 pmod 7

Passo 4

Multiplica os dois lados da congruência original por 5:
5cdot(3x)equiv 5cdot5 pmod 7 Longrightarrow 15x equiv 25 pmod 7
Agora nota que 15 equiv 1 (mod 7), então fica
1cdot x equiv 25 pmod 7 Longrightarrow x equiv 25 pmod 7
E como 25 = 3cdot7 + 4, temos 25equiv4 (mod 7).

Resposta

boxedx equiv 4 pmod 7,
ou seja x = 4 + 7k, com kinZ.

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