Seja T: R^2 R^3 com matriz [ll1 & 2 3 & 4 5 & 6] nas bases canônicas. Encontre a matriz de T em relação às bases (1,1),(1,-1) (domínio) e (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) (contradomínio).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:R^2toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 1 & 2 3 & 4 5 & 6 ,
e pede a matriz de T em relação à base do domínio v1=(1,1),,v2=(1,-1) e à base do contradomínio w1=(1,1,0),,w2=(0,1,1),,w3=(1,0,1). Para isso, vamos calcular T(vj) em coordenadas canônicas, depois escrever cada T(vj) como combinação de w1,w2,w3; essas combinações serão as colunas de [T],C,B.

Passo 2

Calculamos primeiro T(v1) com v1=(1,1). Usando a definição matricial
T(1,1) = 1135 + 1246 = 3711

Passo 3

Agora escrevemos
e igualamos a . Isso gera o sistema
Resolvendo, obtemos , . Logo
]

Passo 4

Em seguida
Escrevemos como combinação de , isto é,
que leva ao sistema
Da solução vem (\alpha=\beta=\gamma=-\tfrac{1}{2}]. Portanto
]

Passo 5

A matriz de T em relação à base do domínio B=v1,v2 e à base do contradomínio C=w1,w2,w3 tem como colunas os vetores [T(v1)]C e [T(v2)]C. Assim,
[T]C,B = -tfrac12 & -tfrac12 tfrac152 & -tfrac12 tfrac72 & -tfrac12

Resposta

[T]C,B = -tfrac12 & -tfrac12 tfrac152 & -tfrac12 tfrac72 & -tfrac12

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