Resolva se possível, as seguintes equações em IR: \quad x\left|x^{2}-4 x\right|=x^{2}|x|
Passo 1
O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação
x\left|x^{2}-4 x\right|=x^{2}|x|.
Informações dadas e observações iniciais que precisamos lembrar (sem resolver ainda):
Temos valores absolutos \left|\cdot\right| em vários lugares.
A expressão dentro do valor absoluto pode ser fatorada: x^{2}-4x = x(x-4).
A solução pedida é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Usar identidade útil sobre valor absoluto. A propriedade que vamos usar é
|ab| = |a|\,|b|
para quaisquer números reais a e b. Explicando rapidinho: |ab| é a distância de ab até zero; essa distância é produto das distâncias |a| e |b|. Exemplo simples: |(-2)\cdot 3| = | -6| = 6 e |-2|\,|3| = 2\cdot 3 = 6.
Aplicando essa propriedade com a=x e b=x-4 obtemos
\left|x^{2}-4x\right| = |x(x-4)| = |x|\,|x-4|.
Passo 3
Substituindo no enunciado, a equação vira
x\bigl(|x|\,|x-4|\bigr) = x^{2}|x|.
Agrupando fatores, escrevemos
|x|\bigl(x|x-4| - x^{2}\bigr) = 0.
Aqui usei fator comum |x|. Portanto, o produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades:
|x| = 0 \qquad\text{ou}\qquad x|x-4| - x^{2} = 0.
Passo 4
Resolver a primeira possibilidade |x|=0. Pela definição de valor absoluto, |x|=0 se, e só se, x=0. Logo uma solução imediata é
x=0.
Vamos agora tratar a segunda possibilidade.
Passo 5
Trabalhar a segunda possibilidade. Em
x|x-4| - x^{2} = 0
podemos fatorar x:
x\bigl(|x-4| - x\bigr) = 0.
Dessa fatoração vêm duas subpossibilidades, mas a x=0 já foi obtida antes, então o caso novo é
|x-4| - x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-4| = x.
Observação importante: |x-4| é sempre \ge 0. Portanto a igualdade só pode ocorrer se x\ge 0. Assim podemos restringir a busca a x\ge 0.
Passo 6
Resolver |x-4| = x por casos sobre o sinal de x-4.
Caso A: x-4 \ge 0 (isto é, x\ge 4). Então |x-4| = x-4 e a equação dá
x-4 = x.
Subtraindo x dos dois lados obtemos -4=0, impossível. Logo não há soluções com x\ge 4.
Caso B: x-4 < 0 (isto é, x<4). Lembrando que também precisamos de x\ge 0, combinamos as desigualdades e ficamos com 0\le x<4. Neste intervalo |x-4| = 4-x. A equação fica
4 - x = x.
Somando x aos dois lados:
4 = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Verificamos que x=2 satisfaz 0\le x<4, então é uma solução válida.
Passo 7
Resumo das soluções obtidas até agora: x=0 e x=2. Vamos verificar substituindo na equação original para garantir que nenhuma etapa introduziu soluções extranhas.