Resolva se possível, as seguintes inequações em IR: \left|x^{3}\right|>x^{3}-x^{2}
Passo 1
Enunciado: Resolver a inequação em \mathbb{R}
\left|x^{3}\right|>x^{3}-x^{2}.
O que o enunciado pede: encontrar todos os valores de x reais que satisfazem a desigualdade acima.
Informações dadas (resumidas): \left|x^{3}\right| é o valor absoluto de x^{3}.
Queremos todos os x\in\mathbb{R} tais que \left|x^{3}\right|>x^{3}-x^{2}.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): a presença do valor absoluto indica que convém separar os casos em que x^{3}\) é não‑negativo e em que \(x^{3}\) é negativo, porque
\[\left|x^{3}\right|= \begin{cases} x^{3}, & \text{se } x^{3}\ge 0,\\[4pt] -x^{3}, & \text{se } x^{3}<0. \end{cases}
Como x^{3}\ge 0\] é equivalente a \(x\ge 0 (porque a função t\mapsto t^{3} preserva o sinal), vamos estudar dois casos: \,x\ge 0 e \,x<0. Isso é uma técnica padrão para inequações com valor absoluto: dividir conforme o sinal da expressão dentro do valor absoluto.]
Passo 3
Caso 1: \,x\ge 0.
Nesse caso temos \left|x^{3}\right|=x^{3}. Substituindo na inequação obtemos
x^{3}>x^{3}-x^{2}.
Agora subtraímos x^{3} de ambos os lados (operações idênticas em ambos os lados preservam a desigualdade):
0>-x^{2}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e lembrando que ao multiplicar uma desigualdade por número negativo invertemos o sinal, obtemos
0<x^{2}.
Interpretando x^{2}>0: isso ocorre sempre que x\neq 0. Mas estamos no caso x\ge 0, então a combinação dá
x>0.
Portanto, todos os x estritamente positivos satisfazem a inequação.
Observação pedagógica: a razão de x^{2}>0 ser equivalente a x\neq 0 é que um quadrado real só é zero quando o número é zero; caso contrário é estritamente positivo. Aqui isso eliminou x=0 da solução no ramo x\ge 0.
Passo 4
Caso 2: \,x<0.
Nesse caso temos \left|x^{3}\right|=-x^{3}. Substituindo na inequação:
-x^{3}>x^{3}-x^{2}.
Passo a passo de simplificação: somamos -x^{3} e subtraímos x^{3} do outro lado (ou simplesmente trazemos tudo para o mesmo lado):
-x^{3}-x^{3}+x^{2}>0.
Isso simplifica para
-2x^{3}+x^{2}>0.
Fatorando x^{2} (é um fator comum):
x^{2}(1-2x)>0.
Passo 5
Análise do sinal do produto x^{2}(1-2x)>0 no caso x<0.
Primeiro, para qualquer x\neq 0 temos x^{2}>0. No nosso caso x<0 implica já x\neq 0, então x^{2} é positivo.
Assim a desigualdade x^{2}(1-2x)>0 reduz‑se, sob x<0, à condição
1-2x>0.
Resolvendo 1-2x>0 temos
-2x>-1 \quad\Longrightarrow\quad x<\frac{1}{2}.
Mas estamos já em \,x<0. A condição x<\frac{1}{2} é automaticamente verdadeira para todo x<0. Portanto, todo x<0 satisfaz a desigualdade no ramo x<0.
Comentário didático: ao ter um produto positivo e sabendo que um dos fatores (x^{2}) é sempre positivo para x\neq0, basta exigir que o outro fator seja positivo. É por isso que passamos de x^{2}(1-2x)>0 para 1-2x>0.
Passo 6
Conclusão combinando os dois casos:
Do caso x\ge 0 obtivemos as soluções x>0.
Do caso x<0 obtivemos as soluções x<0.
O único ponto que não entrou em nenhuma das soluções é x=0. Verificamos explicitamente que x=0 não satisfaz a inequação porque, substituindo,