Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
Passo 1
Enunciado: resolver em
a inequação
O que é pedido: encontrar todos os números reais
que satisfazem a desigualdade acima.
Informações dadas relevantes: a presença de valores absolutos e
e o termo constante
. Não se faz nenhuma outra suposição além de
.
Informações dadas relevantes: a presença de valores absolutos
Passo 2
Propriedade útil sobre valor absoluto (aula curta): para todo
e todo coeficiente real
vale
Isto significa que multiplicar o argumento do módulo por um número é o mesmo que multiplicar o módulo por esse número em módulo. No nosso caso, como
, temos
Vou usar isso para simplificar a desigualdade.
Passo 3
Substituindo
na inequação obtém-se
Agora faço manipulação algébrica: subtraio
de ambos os lados (isso preserva a desigualdade):
ou seja
Passo 4
Análise da inequação obtida:
é sempre um número não negativo para qualquer
, isto é,
. Logo
e
Portanto a expressão
nunca é negativa; em particular não pode ser menor que
. Assim a desigualdade
é impossível — não existe nenhum
que a satisfaça.
Passo 5
Verificação por casos (confirmação didática):
- Se
, então e a inequação original vira , isto é , então . Isso contradiz , logo nenhum satisfaz. - Se
, então e a inequação vira , isto é e dividindo por (inverte a desigualdade) dá . Isso contradiz , logo nenhum satisfaz.
Ambos os casos mostram que não há solução, confirmando a conclusão do passo anterior.