Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
\quad|4 x|+1<|x|

Passo 1

Enunciado: resolver em \mathbb{R} a inequação
|4x| + 1 < |x|.
O que é pedido: encontrar todos os números reais x que satisfazem a desigualdade acima.
Informações dadas relevantes: a presença de valores absolutos |4x| e |x| e o termo constante 1. Não se faz nenhuma outra suposição além de x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Propriedade útil sobre valor absoluto (aula curta): para todo t\in\mathbb{R} e todo coeficiente real a vale
|a t| = |a|\,|t|.
Isto significa que multiplicar o argumento do módulo por um número é o mesmo que multiplicar o módulo por esse número em módulo. No nosso caso, como 4>0, temos
|4x| = 4|x|.
Vou usar isso para simplificar a desigualdade.

Passo 3

Substituindo |4x| = 4|x| na inequação obtém-se
4|x| + 1 < |x|.
Agora faço manipulação algébrica: subtraio |x| de ambos os lados (isso preserva a desigualdade):
4|x| - |x| + 1 < 0,
ou seja
3|x| + 1 < 0.

Passo 4

Análise da inequação obtida: |x| é sempre um número não negativo para qualquer x\in\mathbb{R}, isto é, |x|\ge 0. Logo 3|x|\ge 0 e
3|x| + 1 \ge 0 + 1 = 1.
Portanto a expressão 3|x|+1 nunca é negativa; em particular não pode ser menor que 0. Assim a desigualdade
3|x|+1<0
é impossível — não existe nenhum x que a satisfaça.

Passo 5

Verificação por casos (confirmação didática):
  • Se x\ge 0, então |x|=x e a inequação original vira 4x+1<x, isto é 3x<-1, então x<-\tfrac{1}{3}. Isso contradiz x\ge 0, logo nenhum x\ge 0 satisfaz.
  • Se x<0, então |x|=-x e a inequação vira -4x+1<-x, isto é -3x<-1 e dividindo por -3 (inverte a desigualdade) dá x> \tfrac{1}{3}. Isso contradiz x<0, logo nenhum x<0 satisfaz.
    Ambos os casos mostram que não há solução, confirmando a conclusão do passo anterior.

Resposta

\varnothing

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