Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão seguinte:
Informações dadas:
- As variáveis são
e . - A tarefa é manipular e simplificar a expressão algébrica acima até uma forma mais compacta.
Passo 2
Vou relembrar a fórmula que vou usar primeiro (é uma ferramenta básica que costuma cair muito em prova): a Fórmula do Binômio de Newton. Para
inteiro não-negativo,
onde
são os coeficientes binomiais. Para
os coeficientes são
,
,
,
,
. Isto significa que
Passo 3
Agora aplico essa expansão em
. Substituindo
e
,
Passo 4
Faço a expansão de
. Uma maneira direta é usar o mesmo binômio com
; assim os sinais alternam conforme as potências ímpares de
:
Passo 5
Agora calculo a diferença termo a termo:
Agrupo termos iguais para ver o que cancela e o que soma:
-
. -
. -
. -
. -
.
Portanto, a diferença reduz-se a
Passo 6
Fatoro o resultado para deixá-lo mais compacto. Vejo que ambos os termos têm o fator comum
. Fatorando:
Essa é uma forma simples e elegante da expressão.
Passo 7
(Observação útil para prova — método alternativo mais rápido) Outra forma de chegar ao mesmo resultado é notar que, definindo
e
, a expressão é
. Usando a fatoração de diferença de potências,
Voltando às variáveis originais,
e
. Além disso,
Multiplicando:
que confere com o resultado anterior.
Passo 8
Para ganhar confiança, faço um teste numérico rápido (só para checar que não escorreguei em sinal): tomo
e
.
- À esquerda:
. - À direita:
.
Confere. Bom sinal de que a simplificação está correta.