Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
(a+b)^{4}-(a-b)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão seguinte:
(a+b)^{4}-(a-b)^{4}.
Informações dadas:
  • As variáveis são a e b.
  • A tarefa é manipular e simplificar a expressão algébrica acima até uma forma mais compacta.

Passo 2

Vou relembrar a fórmula que vou usar primeiro (é uma ferramenta básica que costuma cair muito em prova): a Fórmula do Binômio de Newton. Para n inteiro não-negativo,
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}y^{\,k},
onde \binom{n}{k} são os coeficientes binomiais. Para n=4 os coeficientes são \binom{4}{0}=1, \binom{4}{1}=4, \binom{4}{2}=6, \binom{4}{3}=4, \binom{4}{4}=1. Isto significa que
(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

Passo 3

Agora aplico essa expansão em (a+b)^{4}. Substituindo x=a e y=b,
(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}.

Passo 4

Faço a expansão de (a-b)^{4}. Uma maneira direta é usar o mesmo binômio com y=-b; assim os sinais alternam conforme as potências ímpares de b:
(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}.

Passo 5

Agora calculo a diferença termo a termo:
(a+b)^{4}-(a-b)^{4}= \bigl(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\bigr) - \bigl(a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}\bigr).
Agrupo termos iguais para ver o que cancela e o que soma:
  • a^{4}-a^{4}=0.
  • 6a^{2}b^{2}-6a^{2}b^{2}=0.
  • b^{4}-b^{4}=0.
  • 4a^{3}b-(-4a^{3}b)=4a^{3}b+4a^{3}b=8a^{3}b.
  • 4ab^{3}-(-4ab^{3})=4ab^{3}+4ab^{3}=8ab^{3}.
Portanto, a diferença reduz-se a
8a^{3}b+8ab^{3}.

Passo 6

Fatoro o resultado para deixá-lo mais compacto. Vejo que ambos os termos têm o fator comum 8ab. Fatorando:
8a^{3}b+8ab^{3}=8ab\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr).
Essa é uma forma simples e elegante da expressão.

Passo 7

(Observação útil para prova — método alternativo mais rápido) Outra forma de chegar ao mesmo resultado é notar que, definindo x=a+b e y=a-b, a expressão é x^{4}-y^{4}. Usando a fatoração de diferença de potências,
x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2}).
Voltando às variáveis originais, x-y=(a+b)-(a-b)=2b e x+y=(a+b)+(a-b)=2a. Além disso,
x^{2}+y^{2}=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}=2\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr).
Multiplicando:
(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})=(2b)(2a)\bigl(2(a^{2}+b^{2})\bigr)=8ab\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr),
que confere com o resultado anterior.

Passo 8

Para ganhar confiança, faço um teste numérico rápido (só para checar que não escorreguei em sinal): tomo a=2 e b=1.
  • À esquerda: (2+1)^{4}-(2-1)^{4}=3^{4}-1^{4}=81-1=80.
  • À direita: 8\cdot2\cdot1\bigl(2^{2}+1^{2}\bigr)=16\cdot(4+1)=16\cdot5=80.
    Confere. Bom sinal de que a simplificação está correta.

Resposta

8ab\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)

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