Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que se resolva e, quando possível, simplifique a expressão
Informações dadas e observações iniciais:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Importante: o denominador não pode ser zero, logo existe a restrição
. Esta é uma informação relevante para o domínio da expressão original.
Passo 2
Identificar uma técnica útil: fatoração. Vou explicar um fato muito usado e fácil de aplicar: diferença de quadrados.
Fórmula (diferença de quadrados):
Por que isso vale? Podemos expandir o lado direito:
Aqui
e
são quaisquer expressões. No nosso caso escolhemos
e
porque
é exatamente
.
Passo 3
Aplicando a fatoração ao numerador:
Substituindo na fração:
Agora vemos claramente um fator comum
no numerador e no denominador. Quando um mesmo fator aparece multiplicando tanto numerador quanto denominador, podemos simplificá‑lo, desde que não seja zero. Como já observamos,
quando
, então a simplificação é válida para
. Após cancelar o fator comum obtemos
Importante didático: cancelar um fator não “restaura” valores onde a expressão original era indefinida. A expressão simplificada representa a mesma função racional exceto pela possível “falha” (hole) no ponto
.
Passo 4
Alternativa (divisão polinomial) — jeito útil na prova se não lembrar imediatamente da fatoração:
Dividir por
(pode-se usar divisão longa ou divisão sintética).
Usando divisão sintética com a raíz :
Dividir
Usando divisão sintética com a raíz
- Coeficientes de
: . - Traga
para baixo. Multiplica por dá . Soma com dá . Multiplica por dá . Soma com dá (resto).
O quociente tem coeficientese , ou seja o quociente é e o resto é . Logo
quando o divisor não é zero, isto é, para
. Isso confirma o resultado da fatoração.
Passo 5
Verificação numérica rápida (boa prática antes de entregar):
- Para
: original . Simplificado: . Bateu. - Para
: original . Simplificado: . Bateu. - Para
: original tem denominador zero, portanto é indefinido; a expressão simplificada daria , mas isso NÃO significa que a expressão original vale em — existe uma descontinuidade (buraco) em .
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga):
- Sempre verifique o domínio (denominador ≠ 0).
- Procure fatorar o numerador (busque diferença de quadrados, fator comum, trinômio quadrado, etc).
- Cancele fatores comuns lembrando das restrições de domínio.
- Se preferir, use divisão polinomial; os dois métodos dão o mesmo resultado quando o resto é zero.
Vai dar certo — respira, faz com calma e verifica um número para checar.