Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{x^{2}-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede que se resolva e, quando possível, simplifique a expressão
\frac{x^{2}-4}{x-2}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é \,x^{2}-4.
  • O denominador é \,x-2.
  • Importante: o denominador não pode ser zero, logo existe a restrição \,x\neq 2. Esta é uma informação relevante para o domínio da expressão original.

Passo 2

Identificar uma técnica útil: fatoração. Vou explicar um fato muito usado e fácil de aplicar: diferença de quadrados.
Fórmula (diferença de quadrados):
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Por que isso vale? Podemos expandir o lado direito:
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}.
Aqui a e b são quaisquer expressões. No nosso caso escolhemos a=x e b=2 porque \,x^{2}-4 é exatamente x^{2}-2^{2}.

Passo 3

Aplicando a fatoração ao numerador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo na fração:
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Agora vemos claramente um fator comum (x-2) no numerador e no denominador. Quando um mesmo fator aparece multiplicando tanto numerador quanto denominador, podemos simplificá‑lo, desde que não seja zero. Como já observamos, (x-2)=0 quando \,x=2, então a simplificação é válida para \,x\neq 2. Após cancelar o fator comum obtemos
\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad\text{para }\;x\neq 2.
Importante didático: cancelar um fator não “restaura” valores onde a expressão original era indefinida. A expressão simplificada representa a mesma função racional exceto pela possível “falha” (hole) no ponto \,x=2.

Passo 4

Alternativa (divisão polinomial) — jeito útil na prova se não lembrar imediatamente da fatoração:
Dividir \,x^{2}-4 por \,x-2 (pode-se usar divisão longa ou divisão sintética).
Usando divisão sintética com a raíz 2:
  • Coeficientes de x^{2}-4: 1,\;0,\;-4.
  • Traga 1 para baixo. Multiplica por 2 2. Soma com 0 2. Multiplica por 2 4. Soma com -4 0 (resto).
    O quociente tem coeficientes 1 e 2, ou seja o quociente é x+2 e o resto é 0. Logo
\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2
quando o divisor não é zero, isto é, para \,x\neq 2. Isso confirma o resultado da fatoração.

Passo 5

Verificação numérica rápida (boa prática antes de entregar):
  • Para \,x=3: original \dfrac{3^{2}-4}{3-2}=\dfrac{9-4}{1}=5. Simplificado: 3+2=5. Bateu.
  • Para \,x=0: original \dfrac{0-4}{-2}=2. Simplificado: 0+2=2. Bateu.
  • Para \,x=2: original tem denominador zero, portanto é indefinido; a expressão simplificada daria 4, mas isso NÃO significa que a expressão original vale 4 em x=2 — existe uma descontinuidade (buraco) em x=2.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga):
  1. Sempre verifique o domínio (denominador ≠ 0).
  2. Procure fatorar o numerador (busque diferença de quadrados, fator comum, trinômio quadrado, etc).
  3. Cancele fatores comuns lembrando das restrições de domínio.
  4. Se preferir, use divisão polinomial; os dois métodos dão o mesmo resultado quando o resto é zero.
    Vai dar certo — respira, faz com calma e verifica um número para checar.

Resposta

\,x+2,\;x\neq 2

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