Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\sqrt{x^{4}+2 x^{2}+1}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão \sqrt{x^{4}+2 x^{2}+1}.
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é x^{4}+2 x^{2}+1. Não foi dito explicitamente o domínio de x, então vamos trabalhar com x real (caso mais comum em provas).

Passo 2

Lembrete de uma identidade muito útil (aquela que salva várias contas): para quaisquer números reais a e b vale
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Isso significa que se a expressão dentro da raiz for do tipo a^{2}+2ab+b^{2}, podemos escrevê-la como (a+b)^{2}.

Passo 3

Reconhecendo a expressão dada como um quadrado perfeito: compare x^{4}+2x^{2}+1 com a forma a^{2}+2ab+b^{2}. Tome a=x^{2} e b=1. Então, aplicando a identidade,
(x^{2}+1)^{2}=(x^{2})^{2}+2\cdot x^{2}\cdot 1+1^{2}=x^{4}+2x^{2}+1.
Portanto, dentro da raiz temos um quadrado perfeito:
x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}.

Passo 4

Propriedade da raiz quadrada: para um número real u vale
\sqrt{u^{2}}=|u|.
Explicando devagar: a raiz quadrada principal sempre dá um resultado não negativo. Por isso, por exemplo, \sqrt{9}=3 e também \sqrt{(-3)^{2}}=3; em ambos os casos o resultado é o valor absoluto de u.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com u=x^{2}+1, obtemos
\sqrt{(x^{2}+1)^{2}}=|x^{2}+1|.

Passo 6

Agora observe que, para todo x real, x^{2}\ge 0 e portanto
x^{2}+1\ge 1>0.
Como x^{2}+1 é sempre positivo, o valor absoluto não altera nada: |x^{2}+1|=x^{2}+1. Assim finalmente
\sqrt{x^{4}+2x^{2}+1}=x^{2}+1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Pequena checagem numérica para ganhar confiança: se x=0,
\sqrt{0^{4}+2\cdot0^{2}+1}=\sqrt{1}=1
e a expressão simplificada dá 0^{2}+1=1. Se x=2,
\sqrt{2^{4}+2\cdot2^{2}+1}=\sqrt{16+8+1}=\sqrt{25}=5
e a expressão simplificada dá 2^{2}+1=5. Bate certinho.

Resposta

\;x^{2}+1\;

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