Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão
.
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é . Não foi dito explicitamente o domínio de
, então vamos trabalhar com
real (caso mais comum em provas).
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é
Passo 2
Lembrete de uma identidade muito útil (aquela que salva várias contas): para quaisquer números reais
e
vale
Isso significa que se a expressão dentro da raiz for do tipo
, podemos escrevê-la como
.
Passo 3
Reconhecendo a expressão dada como um quadrado perfeito: compare
com a forma
. Tome
e
. Então, aplicando a identidade,
Portanto, dentro da raiz temos um quadrado perfeito:
Passo 4
Propriedade da raiz quadrada: para um número real
vale
Explicando devagar: a raiz quadrada principal sempre dá um resultado não negativo. Por isso, por exemplo,
e também
; em ambos os casos o resultado é o valor absoluto de
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com
, obtemos
Passo 6
Agora observe que, para todo
real,
e portanto
Como
é sempre positivo, o valor absoluto não altera nada:
. Assim finalmente
Passo 7
Pequena checagem numérica para ganhar confiança: se
,
e a expressão simplificada dá
. Se
,
e a expressão simplificada dá
. Bate certinho.